$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{4}$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $\sin(\alpha + \beta)$, $\cos(\alpha - \beta)$ (2) $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{4}$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $\sin(\alpha + \beta)$, $\cos(\alpha - \beta)$

(2) $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha - \beta)$ を求める。

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{4}$

$\beta$ は第1象限の角なので、$\sin \beta > 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\sin \beta = \frac{12}{13}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$= \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{5}{13} + (-\frac{\sqrt{11}}{4}) \cdot \frac{12}{13}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 12\sqrt{11}}{52}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$= (-\frac{\sqrt{11}}{4}) \cdot \frac{5}{13} + \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{12}{13}$

$= \frac{-5\sqrt{11} + 12\sqrt{5}}{52}$

(2) $\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$= 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot (-\frac{\sqrt{11}}{4})$

$= -\frac{2\sqrt{55}}{16} = -\frac{\sqrt{55}}{8}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$= (\frac{-\sqrt{11}}{4})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{4})^2$

$= \frac{11}{16} - \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5\sqrt{5} - 12\sqrt{11}}{52}$

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{12\sqrt{5} - 5\sqrt{11}}{52}$

(2) $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{55}}{8}$

$\cos 2\alpha = \frac{3}{8}$