原点を通る2直線 $l_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}$ と $l_2: \frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$ について、以下の問題を解く。 (1) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ に垂直な直線 $l$ を求める。 (2) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ を含む平面 $\pi$ を求める。

1. 問題の内容

原点を通る2直線 $l_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}$ と $l_2: \frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$ について、以下の問題を解く。

(1) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ に垂直な直線 $l$ を求める。

(2) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ を含む平面 $\pi$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ に垂直な直線 $l$ を求める。

$l_1$ の方向ベクトルを $\vec{v_1} = (2, 1, 3)$、$l_2$ の方向ベクトルを $\vec{v_2} = (1, 3, 2)$ とする。$l_1$ と $l_2$ に垂直な直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{v}$ は、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の外積で与えられる。

$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (3)(3) \\ (3)(1) - (2)(2) \\ (2)(3) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ 3 - 4 \\ 6 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$

よって、直線 $l$ の方程式は、

$\frac{x}{-7} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5}$

もしくは

$\frac{x}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-5}$

(2) 原点を通り、$l_1$ と $l_2$ を含む平面 $\pi$ を求める。

平面 $\pi$ の法線ベクトルは、$\vec{v} = (-7, -1, 5)$ である。

平面 $\pi$ は原点を通るので、平面の方程式は $-7x - y + 5z = 0$ となる。

したがって、$7x + y - 5z = 0$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式は $\frac{x}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-5}$

(2) 平面 $\pi$ の方程式は $7x + y - 5z = 0$