円と直線の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $x^2 + y^2 = 5, y = x + 4$ (2) $x^2 + y^2 = 1, x + y = 1$ (3) $x^2 + y^2 = 10, 3x - y = -10$

1. 問題の内容

円と直線の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $x^2 + y^2 = 5, y = x + 4$

(2) $x^2 + y^2 = 1, x + y = 1$

(3) $x^2 + y^2 = 10, 3x - y = -10$

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数と座標を求めるには、以下の手順で解きます。

1. 直線の方程式を円の方程式に代入し、x(またはy)についての2次方程式を得ます。

2. 2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

* $D > 0$ のとき、共有点は2個

* $D = 0$ のとき、共有点は1個 (接する)

* $D < 0$ のとき、共有点は0個

3. $D \ge 0$ の場合、2次方程式を解いて $x$ (または $y$) の値を求め、対応する $y$ (または $x$) の値を計算します。これにより、共有点の座標が求まります。

(1)

$y = x + 4$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (x+4)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 5$

$2x^2 + 8x + 11 = 0$

判別式 $D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24 < 0$

したがって、共有点は0個です。

(2)

$x + y = 1$ より $y = 1 - x$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入します。

$x^2 + (1-x)^2 = 1$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x-1) = 0$

$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき $y = 1 - 0 = 1$

$x = 1$ のとき $y = 1 - 1 = 0$

したがって、共有点は $(0, 1), (1, 0)$ の2個です。

(3)

$3x - y = -10$ より $y = 3x + 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入します。

$x^2 + (3x+10)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 + 60x + 100 = 10$

$10x^2 + 60x + 90 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

$y = 3x + 10 = 3(-3) + 10 = 1$

したがって、共有点は $(-3, 1)$ の1個です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の個数: 0個

(2) 共有点の個数: 2個、座標: $(0, 1), (1, 0)$

(3) 共有点の個数: 1個、座標: $(-3, 1)$