直角三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=4$である。斜辺BC上に点Pをとり、Pから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。三角形BPQと三角形PCRの面積の和Sが最小となるときの線分PQの長さと、そのときの面積の和Sの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=4$である。斜辺BC上に点Pをとり、Pから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。三角形BPQと三角形PCRの面積の和Sが最小となるときの線分PQの長さと、そのときの面積の和Sの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$BC$の長さを求める。三平方の定理より、

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

次に、$BP = x$とおくと、$0 < x < \sqrt{41}$。

$\triangle BPQ \sim \triangle BCA$より、$PQ = \frac{4}{ \sqrt{41}}x$, $BQ = \frac{5}{\sqrt{41}}x$

$\triangle PCR \sim \triangle BCA$であり、$PC = \sqrt{41} - x$より、$CR = \frac{4}{\sqrt{41}} (\sqrt{41} - x)=4 - \frac{4}{\sqrt{41}}x$, $PR = \frac{5}{\sqrt{41}}(\sqrt{41} - x)=5 - \frac{5}{\sqrt{41}}x$

$\triangle BPQ$の面積は$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}}x \cdot \frac{4}{\sqrt{41}}x = \frac{10}{41}x^2$

$\triangle PCR$の面積は$\frac{1}{2} \cdot (4-\frac{4}{\sqrt{41}}x) \cdot (5 - \frac{5}{\sqrt{41}}x) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (1-\frac{x}{\sqrt{41}}) \cdot 5 \cdot (1-\frac{x}{\sqrt{41}}) = 10 (1-\frac{x}{\sqrt{41}})^2 = 10 - \frac{20x}{\sqrt{41}} + \frac{10x^2}{41}$

したがって、

$S = \frac{10}{41}x^2 + 10 - \frac{20x}{\sqrt{41}} + \frac{10x^2}{41} = \frac{20}{41}x^2 - \frac{20}{\sqrt{41}}x + 10 = \frac{20}{41} (x^2 - \sqrt{41}x) + 10 = \frac{20}{41} (x - \frac{\sqrt{41}}{2})^2 - \frac{20}{41} \cdot \frac{41}{4} + 10 = \frac{20}{41}(x - \frac{\sqrt{41}}{2})^2 - 5 + 10 = \frac{20}{41}(x-\frac{\sqrt{41}}{2})^2 + 5$

$S$が最小となるのは、$x = \frac{\sqrt{41}}{2}$のときで、最小値は$5$となる。

このとき、$PQ = \frac{4}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{2} = 2$

3. 最終的な答え

線分PQの長さ：2

面積の和Sの最小値：5