与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & -1 & 1 & -3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行列のランクを求めるには、行基本変形を用いて行列を簡約化し、0でない行の数を数えます。

与えられた行列をAとします。

$$

A = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & -1 & 1 & -3

\end{pmatrix}

$$

1. 2行目から1行目を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$）。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

2 & -1 & 1 & -3

\end{pmatrix}

$$

2. 3行目に1行目の2倍を加えます($R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$)。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & -1 & -1

\end{pmatrix}

$$

3. 2行目と3行目を入れ替えます($R_2 \leftrightarrow R_3$)。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & -1 & -1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

4. 1行目に-1を掛けます($R_1 \rightarrow -R_1$)。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & -1 & -1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

5. 2行目に-1を掛けます($R_2 \rightarrow -R_2$)。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

簡約化された行列には、0でない行が2行あります。したがって、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

2