(1) 2次方程式 $x^2 - (a+1)x + 4 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような実数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 + (2k+1)x + 1 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - (a+1)x + 4 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような実数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 + (2k+1)x + 1 = 0$ が異なる2つの実数解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

この問題では、$a=1, b=-(a+1), c=4$ なので、判別式は

$D = (-(a+1))^2 - 4(1)(4) = (a+1)^2 - 16 = a^2 + 2a + 1 - 16 = a^2 + 2a - 15$

$a^2 + 2a - 15 > 0$ となる $a$ の範囲を求める。

$(a+5)(a-3) > 0$

したがって、$a < -5$ または $3 < a$

(2)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

この問題では、$a=1, b=(2k+1), c=1$ なので、判別式は

$D = (2k+1)^2 - 4(1)(1) = 4k^2 + 4k + 1 - 4 = 4k^2 + 4k - 3$

$4k^2 + 4k - 3 > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

$(2k+3)(2k-1) > 0$

したがって、$k < -\frac{3}{2}$ または $\frac{1}{2} < k$

3. 最終的な答え

(1) $a < -5, 3 < a$

(2) $k < -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} < k$