問題1は、100以上200以下の自然数のうち、6の倍数または9の倍数であるものがいくつあるかを求める問題です。 問題2は、赤と白のサイコロを投げたとき、出た目の差の絶対値 $n = |x-y|$ について、いくつかの条件を満たす場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、100以上200以下の自然数のうち、6の倍数または9の倍数であるものがいくつあるかを求める問題です。

問題2は、赤と白のサイコロを投げたとき、出た目の差の絶対値 $n = |x-y|$ について、いくつかの条件を満たす場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、100以上200以下の6の倍数の個数 $n(A)$ を求めます。

100 ÷ 6 = 16.66... なので、6 × 17 = 102 から 6 × 33 = 198 までが6の倍数です。

よって、$n(A) = 33 - 17 + 1 = 17$ 個です。

次に、100以上200以下の9の倍数の個数 $n(B)$ を求めます。

100 ÷ 9 = 11.11... なので、9 × 12 = 108 から 9 × 22 = 198 までが9の倍数です。

よって、$n(B) = 22 - 12 + 1 = 11$ 個です。

次に、100以上200以下の6の倍数かつ9の倍数、つまり18の倍数の個数 $n(A \cap B)$ を求めます。

100 ÷ 18 = 5.55... なので、18 × 6 = 108 から 18 × 11 = 198 までが18の倍数です。

よって、$n(A \cap B) = 11 - 6 + 1 = 6$ 個です。

6の倍数または9の倍数の個数 $n(A \cup B)$ は、包含と排除の原理より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 17 + 11 - 6 = 22$ 個です。

問題2：

(1) $n = |x - y|$ が3または5となる場合を考えます。

$n = 3$ のとき、$(x, y)$ の組み合わせは以下の通りです。

(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3) の6通り

よって、5には6が入ります。

$n = 5$ のとき、$(x, y)$ の組み合わせは以下の通りです。

(1, 6), (6, 1) の2通り、(2, _)が4通り、(3,_)が4通り、(4,_)が4通り、(5,_)が4通り

(2,_)は(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)で$n=1,2,3,4$

(3,_)は(3,4),(3,5),(3,6)で$n=1,2,3$

(6,_)は(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)

(1,6), (2,x), (3,x), (4,x), (5,x), (6,1)

(1,6), (6,1)

(2,_)は(2,3,4,5,6)

$|x-y|=5$は

(1,6)(6,1)の2つ

合計2+6+6+6+6+2=2+5=5個

$n=3$となるのは(1,4),(2,5),(3,6)(4,1)(5,2)(6,3)の6通り

$n=5$となるのは(1,6)(6,1)の2通り

(2,5) (5,2)の2通りと

(1,6)(6,1)の2通り

(2,_) (3,_) (4,_) (5,_)

$n=3$になるのは6通り。

$n=5$になるのは2通り。

よって、6には2が入ります。

$n=3$または$n=5$となるのは、6+2=8通りなので、7には8が入ります。

(2) $n$が奇数となる場合を考えます。

$n = 1$ のとき、$(x, y)$ の組み合わせは以下の通りです。

(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)

よって、8には10が入ります。しかし、選択肢には10がないので、計算に誤りがあります。

$n = |x-y|$ が奇数となるのは、$x$と$y$の偶奇が異なる場合です。

$x$が奇数のとき、$y$は偶数。$x$が偶数のとき、$y$は奇数。

奇数の目は1, 3, 5の3つ。偶数の目は2, 4, 6の3つ。

よって、3 * 3 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18通り。

$n=1$の場合 (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) の10通り

$n=3$の場合 (1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3) の6通り

$n=5$の場合 (1,6), (6,1) の2通り

よって奇数の目は1, 3, 5で9通り

(1,2) (1,4) (1,6) = 3

(2,1) (2,3) (2,5) = 3

3*3+3*3=18

$n=1$となるのは (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5)の10通りなので、8には該当するものはありません。

選択肢に10はないのでn=1となる場合を求めるのは間違っていると考えられます

$n$が奇数なので、$n = 1, 3, 5$の場合を足し合わせればよい。

$n = 1$の場合は、10通りである。

$n = 3$の場合は、6通りである。

$n = 5$の場合は、2通りである。

合計すると、10+6+2=18通り

nが奇数となるのは18通りなので、9には該当するものはありません

再度検討します

10+6+2＝18

$n=1,3,5$の合計

選択肢にないため

再度確認する

サイコロはx,yはそれぞれ1,2,3,4,5,6

n = |x-y|

(1)より$n=3$となる場合は、6通り, $n=5$となる場合は2通り

2+6=8

n=1 $n$が奇数

8の回答は存在しない。

３．最終的な答え

問題1：4には6 (22) が入ります。

問題2：

5には6が入ります。

6には2が入ります。

7には8が入ります。

8には選択肢がないため該当するものはない。

9には選択肢がないため該当するものはない。