$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1 + 4p_2 - 3p_3, -3p_1 + 3p_2 + p_3)$、 $b = p_1 + p_2 - p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを一つ選べ。 提示された選択肢の中から、$Ax = b$を満たすものを探します。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1 + 4p_2 - 3p_3, -3p_1 + 3p_2 + p_3)$、

$b = p_1 + p_2 - p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを一つ選べ。

提示された選択肢の中から、$Ax = b$を満たすものを探します。

2. 解き方の手順

$A$ の列ベクトルを $a_1 = p_1$, $a_2 = p_2$, $a_3 = p_3$, $a_4 = 4p_1 + 4p_2 - 3p_3$, $a_5 = -3p_1 + 3p_2 + p_3$ とします。

$x = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^T$ とすると、$Ax = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + x_4(4p_1 + 4p_2 - 3p_3) + x_5(-3p_1 + 3p_2 + p_3) = b = p_1 + p_2 - p_3$ となります。

これを整理すると、

$(x_1 + 4x_4 - 3x_5)p_1 + (x_2 + 4x_4 + 3x_5)p_2 + (x_3 - 3x_4 + x_5)p_3 = p_1 + p_2 - p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、各係数が等しくなります。

\begin{align*} \label{eq:1} x_1 + 4x_4 - 3x_5 &= 1 \\ x_2 + 4x_4 + 3x_5 &= 1 \\ x_3 - 3x_4 + x_5 &= -1 \end{align*}

この連立一次方程式を解きます。

最初の選択肢を見てみましょう。

$x = \begin{pmatrix} -3 \\ 21 \\ -3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -20 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 28 \\ -8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$x_1 = -3+4p+4q, x_2 = 21-20p+28q, x_3 = -3+2p-8q, x_4 = -2+2p-4q, x_5 = -4+4p-4q$

これを代入して確かめましょう。

\begin{align*} x_1 + 4x_4 - 3x_5 &= (-3+4p+4q) + 4(-2+2p-4q) - 3(-4+4p-4q) \\ &= -3 + 4p + 4q -8 + 8p - 16q + 12 - 12p + 12q = 1 \\ x_2 + 4x_4 + 3x_5 &= (21-20p+28q) + 4(-2+2p-4q) + 3(-4+4p-4q) \\ &= 21 - 20p + 28q - 8 + 8p - 16q - 12 + 12p - 12q = 1 \\ x_3 - 3x_4 + x_5 &= (-3+2p-8q) - 3(-2+2p-4q) + (-4+4p-4q) \\ &= -3 + 2p - 8q + 6 - 6p + 12q - 4 + 4p - 4q = -1 \end{align*}

全て満たすので、これが解です。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -3 \\ 21 \\ -3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -20 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 28 \\ -8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}, p, q \in R$