問題は、与えられた平面から平面への写像のうち、平面全体が1点に写されるものをすべて選択することです。それぞれの写像は、2x2の行列$A$とベクトル$b$を使って、$x \mapsto Ax + b$ の形式で表されています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた平面から平面への写像のうち、平面全体が1点に写されるものをすべて選択することです。それぞれの写像は、2x2の行列$A$とベクトル$b$を使って、$x \mapsto Ax + b$ の形式で表されています。

2. 解き方の手順

平面全体が1点に写されるということは、任意のベクトル$x$に対して、$Ax + b$ が定数ベクトルになるということです。つまり、$x$に依存する部分、すなわち$Ax$が常に0ベクトルになる必要があります。これは、行列$A$が零行列であることと同値です。

各選択肢を見ていきましょう。

* 選択肢1: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

この場合、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。したがって、$Ax = 0$ となり、写像の結果は定数ベクトル $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ になります。

* 選択肢2: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x$

この場合、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。したがって、$Ax = 0$ となり、写像の結果は定数ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ になります。

* 選択肢3: $x \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} x$

この場合、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ です。$A$は零行列ではないので、写像の結果は$x$に依存します。

* 選択肢4: $x \mapsto \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

この場合、$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ です。$A$は零行列ではないので、写像の結果は$x$に依存します。

* 選択肢5: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

この場合、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。したがって、$Ax = 0$ となり、写像の結果は定数ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ になります。

3. 最終的な答え

平面全体が1点に写されるのは、選択肢1、選択肢2、選択肢5です。