正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられ、行列 $A = (p_1 - 4p_1, p_2, -3p_1 - 2p_2)$ とベクトル $b = -p_1 - 3p_2$ が与えられています。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$ として与えられたとき、これが正しいかどうかを判定する必要があります。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられ、行列 $A = (p_1 - 4p_1, p_2, -3p_1 - 2p_2)$ とベクトル $b = -p_1 - 3p_2$ が与えられています。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が

$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

として与えられたとき、これが正しいかどうかを判定する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトルを用いて行列 $A$ とベクトル $b$ を表現します。

$A = (p_1 - 4p_1, p_2, -3p_1 - 2p_2) = (-3p_1, p_2, -3p_1 - 2p_2)$.

$b = -p_1 - 3p_2$.

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}$ が $Ax = b$ の解となるかを調べます。

$A = (-3p_1, p_2, -3p_1-2p_2)$ から $A$ は $3 \times 3$ 行列に見えます。したがって、与えられたベクトルが $3 \times 1$ でなければ $Ax$ は定義できません。ここで、ベクトル成分は問題文の写りの悪さから、本来3成分のベクトルであるべきものが、4成分に見えている可能性があります。とりあえず、与えられた4成分のベクトルの形式で考えて、パラメータ表示が誤りであることを示します。

解が与えられた形で表されるならば、特殊解 $x_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix}$ は $Ax_0 = b$ を満たし、

$\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}$ は $Ax=0$ の解になっている必要があります。

ここで、一般解が2つのパラメータ $p$ と $q$ で表されているので、解空間の次元が 2 であると予想されます。

$A=(p_1 - 4p_1, p_2, -3p_1 - 2p_2) = (p_1, p_2, p_3) \begin{pmatrix} -3 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$Ax = P\begin{pmatrix} -3 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} x = -p_1 -3p_2$

上記のパラメータ表示が正しいかどうかを判断するための直接的な方法は、パラメータ表示から$x$を計算し、$Ax = b$が成立するかどうかをチェックすることです。パラメータ $p,q$ に対してこれが成り立つかどうかを確認する必要があります。問題文に与えられた情報が少なく、正しく解釈できない部分があるため、このパラメータ表示が正しいかどうかを判断することは難しいです。しかし、次元が合わないため、誤りであると判断します。

3. 最終的な答え

誤り