$x^3 + ax^2 + bx + 4$ を $x^2 + x + 2$ で割ったときの余りを求め、その余りが0になるように $a, b$ の値を決定する問題です。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 + bx + 4$ を $x^2 + x + 2$ で割ったときの余りを求め、その余りが0になるように $a, b$ の値を決定する問題です。

2. 解き方の手順

実際に多項式の割り算を行います。

$x^3 + ax^2 + bx + 4$ を $x^2 + x + 2$ で割ると、商は $x + (a - 1)$、余りは $(b - a - 1)x - (a - 2a + 4 -4) = (b - a - 1)x + (b - a + 2)$ となります。

つまり、

$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x^2 + x + 2)(x + a - 1) + (b - a - 1)x + (b - 2a +2 +2 )$

したがって余りは $(b - a - 1)x + (b - a +2)$となります。

$x^3 + ax^2 + bx + 4$ が $x^2 + x + 2$ で割り切れるとき、余りは0であるので、

$b - a - 1 = 0$

$b - a + 2 = 0$

この連立方程式を解きます。

$b - a = 1$

$b - a = -2$

これらは矛盾するため、元の計算に間違いがある。

$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x^2 + x + 2)(x + a - 1) + (b - a + 1)x + (4-2(a-1))$

$(b - a + 1)x + (-2a+6)$

$b-a+1 = 0$

$-2a+6=0$

$a = 3$

$b - 3 + 1 = 0$

$b = 2$

3. 最終的な答え

余りは $(b - a + 1)x - 2a + 6$ である。

割り切れるとき $a = 3$, $b = 2$