$n$ を自然数とするとき、不等式 $3^n \geq 1+2n$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、不等式 $3^n \geq 1+2n$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

この不等式を数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき:

左辺は $3^1 = 3$。右辺は $1+2(1) = 3$。

よって、$3^1 \geq 1+2(1)$ が成り立つ。

(2) $n=k$ ($k$ は自然数)のとき、$3^k \geq 1+2k$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のときにも $3^{k+1} \geq 1+2(k+1)$ が成り立つことを示す。

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$

帰納法の仮定より、$3^k \geq 1+2k$ であるから、

$3^{k+1} \geq 3(1+2k) = 3+6k$

ここで、$3+6k \geq 1+2(k+1)$ を示す必要がある。

$3+6k \geq 1+2k+2$

$3+6k \geq 3+2k$

$4k \geq 0$

$k \geq 0$

$k$ は自然数であるから、$k \geq 1$ であり、$4k \geq 0$ は常に成り立つ。

したがって、$3^{k+1} \geq 3+6k \geq 1+2(k+1)$ となり、$3^{k+1} \geq 1+2(k+1)$ が成り立つ。

(1)(2)より、すべての自然数 $n$ に対して、$3^n \geq 1+2n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$3^n \geq 1+2n$ が成り立つ。