$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。行列 $A$ とベクトル $b$ が以下のように与えられている。 $A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, p_1 + 2p_2 - p_3)$ $b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$ このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを求める。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。行列 $A$ とベクトル $b$ が以下のように与えられている。

$A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, p_1 + 2p_2 - p_3)$

$b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$を列ベクトルで表現すると、

$A = [p_1, 2p_1, p_2, p_3, p_1+2p_2-p_3]$

となり、$x$を列ベクトル $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix}$ とすると、$Ax = b$ は

$x_1 p_1 + x_2 (2p_1) + x_3 p_2 + x_4 p_3 + x_5 (p_1+2p_2-p_3) = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

と書ける。整理すると

$(x_1 + 2x_2 + x_5) p_1 + (x_3 + 2x_5) p_2 + (x_4 - x_5) p_3 = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、以下の連立方程式を得る。

$x_1 + 2x_2 + x_5 = 1$

$x_3 + 2x_5 = 3$

$x_4 - x_5 = 3$

これらの式から、$x_1, x_3, x_4$ を $x_2, x_5$ で表す。

$x_1 = 1 - 2x_2 - x_5$

$x_3 = 3 - 2x_5$

$x_4 = 3 + x_5$

$x_2 = s, x_5 = t$ とおくと、

$x_1 = 1 - 2s - t$

$x_3 = 3 - 2t$

$x_4 = 3 + t$

よって、解は

$x = \begin{bmatrix} 1-2s-t \\ s \\ 3-2t \\ 3+t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$