次の2つの2次関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = -2x^2 - 8x - 6$ (2) $y = x^2 + 4x$

1. 問題の内容

次の2つの2次関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = -2x^2 - 8x - 6$

(2) $y = x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

どちらの問題も、まず平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、軸、頂点、y切片などを考慮してグラフを描きます。

(1) $y = -2x^2 - 8x - 6$ について

まず、$x^2$の係数でくくります。

$y = -2(x^2 + 4x) - 6$

次に、括弧の中を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 6$

$y = -2((x + 2)^2 - 4) - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 2$

よって、頂点の座標は $(-2, 2)$、軸は$x = -2$ です。$y$切片は、$x = 0$のとき、$y = -6$です。上に凸のグラフになります。

(2) $y = x^2 + 4x$ について

平方完成を行います。

$y = x^2 + 4x + 4 - 4$

$y = (x + 2)^2 - 4$

よって、頂点の座標は $(-2, -4)$、軸は$x = -2$ です。$y$切片は、$x = 0$のとき、$y = 0$です。下に凸のグラフになります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2(x + 2)^2 + 2$　頂点 $(-2, 2)$, 軸 $x=-2$, $y$切片 $-6$

(2) $y = (x + 2)^2 - 4$　頂点 $(-2, -4)$, 軸 $x=-2$, $y$切片 $0$

（グラフは省略）