多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ が与えられています。ただし、$k$ は実数の定数です。 (1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求めます。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつような $k$ の値を求めます。 (3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値をとります。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

## 回答

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ が与えられています。ただし、$k$ は実数の定数です。

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求めます。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつような $k$ の値を求めます。

(3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値をとります。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求める。

剰余の定理より、余りは $P(-2)$ で求められる。

$P(-2) = (-2)^3 - (k-2)(-2)^2 - (k-3)(-2) + 2k + 6 = -8 - 4(k-2) + 2(k-3) + 2k + 6 = -8 - 4k + 8 + 2k - 6 + 2k + 6 = 0$

$P(-2) = 0$であるから、$P(x)$は$x+2$で割り切れる。したがって、余りは0である。

次に、実際に$P(x)$を$x+2$で割る。

```

x^2 - kx + 3

x + 2 | x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6

x^3 + 2x^2

------------------

-kx^2 + 2x^2 - (k-3)x

-kx^2 - 2kx

------------------

2x^2 + (k-3)x + 2kx + 2k + 6

2x^2 + (k+3)x + 2kx + 2k + 6

2x^2 + 4x

------------------

kx - x + 2k + 6

kx + 2k

-------------

-x + 6

-3x -6

```

$P(x) = (x+2)(x^2 -kx + 3)$. よって商は$x^2 -kx + 3$である。

(2) $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつような $k$ の値を求める。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + 3) = 0$

$x = -2$ または $x^2 - kx + 3 = 0$

$x^2 - kx + 3 = 0$ が $x = -2$ を解に持つ場合、$(-2)^2 - k(-2) + 3 = 0$ より、$4 + 2k + 3 = 0$となり、$k = -\frac{7}{2}$。

このとき、$x^2 + \frac{7}{2}x + 3 = 0$ より、$2x^2 + 7x + 6 = 0$、$(2x+3)(x+2) = 0$。

よって、$x = -2, -\frac{3}{2}$。この場合、解は $-2$ (重解) と $-\frac{3}{2}$ の2つなので、条件を満たす。

$x^2 - kx + 3 = 0$ が重解を持つ場合、判別式 $D = k^2 - 4(1)(3) = k^2 - 12 = 0$ より、$k = \pm 2\sqrt{3}$。

このとき、$x = \frac{k}{2}$ より、

$k = 2\sqrt{3}$ のとき、$x = \sqrt{3} \neq -2$。

$k = -2\sqrt{3}$ のとき、$x = -\sqrt{3} \neq -2$。

よって、$k = \pm 2\sqrt{3}$ も条件を満たす。

したがって、$k = -\frac{7}{2}, \pm 2\sqrt{3}$。

(3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値をとる。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求める。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + 3) = 0$

$x = -2$ を1つの解とする。

$x^2 - kx + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = k, \alpha \beta = 3$。

$p, q, r$ を $-2, \alpha, \beta$ とすると、$p^2 + q^2 + r^2 = (-2)^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 4 + (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 4 + k^2 - 2(3) = k^2 - 2$。

$k^2 - 2 = 7$ より、$k^2 = 9$、$k = \pm 3$。

$k = 3$ のとき、$x^2 - 3x + 3 = 0$、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9-12}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$。解の実部は $\frac{3}{2}$。

$x = -2, \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$(-2)^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 4 + \frac{18}{4} = 4 + \frac{9}{2} = \frac{17}{2} \neq 7$。

$k = -3$ のとき、$x^2 + 3x + 3 = 0$、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-12}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}$。解の実部は $-\frac{3}{2}$。

$x = -2, -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$(-2)^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 4 + \frac{18}{4} = 4 + \frac{9}{2} = \frac{17}{2} \neq 7$。

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - kx + 3$, 余り: $0$

(2) $k = -\frac{7}{2}, \pm 2\sqrt{3}$

(3) 該当なし