$p, q$ は実数の定数とする。3次方程式 $x^3 + px^2 + qx - 4 = 0$ は異なる3つの実数解 $1, \alpha, \beta$ を持つ。 (1) $q$ を $p$ を用いて表せ。 (2) $p$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (3) $k$ は定数とする。$\alpha^2 + \beta^2 = k$ を満たす $p$ の値がただ1つ存在するとき、$k$ の値を求めよ。また、そのときの $p$ の値を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$p, q$ は実数の定数とする。3次方程式 $x^3 + px^2 + qx - 4 = 0$ は異なる3つの実数解 $1, \alpha, \beta$ を持つ。

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ。

(2) $p$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $k$ は定数とする。$\alpha^2 + \beta^2 = k$ を満たす $p$ の値がただ1つ存在するとき、$k$ の値を求めよ。また、そのときの $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 + px^2 + qx - 4 = 0$ は $x = 1$ を解に持つので、

$1^3 + p(1)^2 + q(1) - 4 = 0$

$1 + p + q - 4 = 0$

$q = -p + 3$

(2)

解と係数の関係より、

$1 + \alpha + \beta = -p$

$1\cdot\alpha + 1\cdot\beta + \alpha\beta = q$

$1\cdot\alpha\cdot\beta = 4$

$\alpha\beta = 4$

$1 + \alpha + \beta = -p \implies \alpha + \beta = -p - 1$

$\alpha + \beta + \alpha\beta = q \implies -p - 1 + 4 = -p + 3 \implies 3 = 3$ (これは常に成り立つ)

$\alpha$ と $\beta$ は実数解なので、判別式 $D > 0$ を満たす。

$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta > 0$

$(-p-1)^2 - 4(4) > 0$

$(p+1)^2 - 16 > 0$

$p^2 + 2p + 1 - 16 > 0$

$p^2 + 2p - 15 > 0$

$(p+5)(p-3) > 0$

$p < -5$ または $p > 3$

また、問題文より、$1, \alpha, \beta$ は異なるので、$\alpha \neq 1, \beta \neq 1$

$\alpha = 1$ のとき $\beta = 4$ なので、$\alpha + \beta = 5$

$-p - 1 = 5 \implies p = -6$

$\beta = 1$ のとき $\alpha = 4$ なので、$\alpha + \beta = 5$

$-p - 1 = 5 \implies p = -6$

よって、$p \neq -6$

したがって、$p < -6$ または $-6 < p < -5$ または $p > 3$

(3)

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p-1)^2 - 2(4) = (p+1)^2 - 8 = k$

$k = (p+1)^2 - 8$

$p$ の値がただ一つ存在するということは、$k$ がある特定の値を取るとき、$p$ の方程式 $(p+1)^2 - 8 = k$ がただ一つの解を持つということである。

$(p+1)^2 = k + 8$

$p+1 = \pm \sqrt{k+8}$

$p = -1 \pm \sqrt{k+8}$

$p$ の値がただ一つ存在するためには $\sqrt{k+8} = 0$ でなければならない。

$k + 8 = 0$

$k = -8$

このとき、$p = -1$

$p = -1$ は $p < -6$ または $-6 < p < -5$ または $p > 3$ を満たさないので、条件を満たさない。

しかし、$\alpha^2 + \beta^2 = k$ を満たす $p$ がただ一つ存在するという条件から、$p = -6$ のときに解が一つになる可能性がある。

$p = -6$ のとき、$(\alpha, \beta) = (1, 4)$ または $(4, 1)$ であり、これは異なる3つの解という条件に反するので、$p \neq -6$ である。

ただし、$\alpha + \beta = -p - 1 = -(-6) - 1 = 5$

$\alpha\beta = 4$

$\alpha = 1, \beta = 4$

$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

$k = 17$

$(p+1)^2 = 17 + 8 = 25$

$p + 1 = \pm 5$

$p = -1 \pm 5$

$p = 4, -6$

$p$ の値が一つに定まるのは $p = -6$ の場合のみである。

しかし、この場合、$\alpha = 1$ であるため条件に反する。

ここで、$p<-6, -6<p<-5, p>3$ を満たすようにする。

$k=(p+1)^2-8$ を $p$ について解くと $p=-1\pm\sqrt{k+8}$

$p<-6$ を満たすためには、$p=-1-\sqrt{k+8}<-6$ より、$\sqrt{k+8}>5$, $k+8>25$, $k>17$

$-6<p<-5$ を満たすためには、$p=-1-\sqrt{k+8}$ より、$-6<-1-\sqrt{k+8}<-5$, $-5<-\sqrt{k+8}<4$, $5>\sqrt{k+8}>-4$

$\sqrt{k+8}<5$ より、$k+8<25$, $k<17$

(2)より、$p<-5$ or $p>3$ なので、$k=(p+1)^2 - 8$ のグラフを考えた時、$p=-5$ のとき $k=(-5+1)^2 - 8 = 16-8=8$

$p=3$ のとき、$k=(3+1)^2-8 = 16-8 = 8$

$p = -6$ となる $\alpha^2 + \beta^2 = 17$

グラフを考えると、ただ一つの $p$ が存在するのは $k = 8$ のときで、$p = -5$ または $3$ となる。

しかし、$p=-5,3$とすると、2つの解$\alpha, \beta$が異なるとは限らない。

$k = 8, p=3$

$x^3+3x^2+(3-3)x-4=x^3+3x^2-4=0$

$(x-1)(x^2+4x+4)=0$

$(x-1)(x+2)^2=0$

$x = 1,-2$

異なる解を持たないため、$p \neq 3$

$k = 8, p=-5$

$x^3-5x^2+(-(-5)+3)x-4 = x^3-5x^2+8x-4=0$

$(x-1)(x^2-4x+4)=(x-1)(x-2)^2$

(3)の答え

$k = 8$

$p$ の値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $q = -p + 3$

(2) $p < -6$ または $-6 < p < -5$ または $p > 3$

(3) $k=8$, $p$ の値は存在しない。