この問題は、2つの部分から構成されています。 (1) $a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば $4a-b \neq 1$ または $2a+b \neq 5$ であることを証明する問題です。証明には対偶を利用し、適切な語句を空欄に埋めます。 (2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを利用して、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを証明する問題です。背理法を用い、適切な語句を空欄に埋めます。

1. 問題の内容

この問題は、2つの部分から構成されています。

(1) $a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば $4a-b \neq 1$ または $2a+b \neq 5$ であることを証明する問題です。証明には対偶を利用し、適切な語句を空欄に埋めます。

(2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを利用して、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを証明する問題です。背理法を用い、適切な語句を空欄に埋めます。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を利用した証明

- 与えられた命題の対偶を記述します。命題「P ならば Q」の対偶は「Q でないならば P でない」です。

- 対偶：「$4a-b = 1$ かつ $2a+b = 5$ ならば $a = 1$ かつ $b = 3$ である」

- 連立方程式 $4a - b = 1$ と $2a + b = 5$ を解き、$a = 1$、$b = 3$ を導きます。

- 対偶が真であることを示します。

- 対偶が真であることから、元の命題も真であると結論付けます。

(2) 背理法による証明

- $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数でないと仮定します。つまり、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。

- $\sqrt{3} + \sqrt{5} = a$ とおき、$a$ は有理数とします。

- 両辺を2乗すると $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = a^2$ より、$3 + 2\sqrt{15} + 5 = a^2$ となり、$8 + 2\sqrt{15} = a^2$ を得ます。

- これを整理して $\sqrt{15} = \frac{a^2 - 8}{2}$ とします。

- $a$ が有理数なので $\frac{a^2 - 8}{2}$ も有理数となります。しかし、$\sqrt{15}$ は無理数なので、これは矛盾です。

- よって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は無理数であると結論付けます。

3. 最終的な答え

(1)

31: 真

31: 真

(2)

32-1: 有理数

32-1: 有理数

32-2: 無理数

32-2: 無理数