ある博物館の入館料は小学生260円、中学生と高校生は410円、大人は760円である。ある日の入館者数を調べると、中学生と高校生の合計入館者数は小学生の入館者数の2倍であり、大人の入館者数は小学生、中学生、高校生の合計入館者数よりも100人少なかった。この日の小学生の入館者数を$x$人、大人の入館者数を$y$人とするとき、以下の問いに答える。 (1) この日の総入館者数を$x$と$y$の両方を用いて表せ。 (2) さらに、この博物館では1個550円のおみやげを売っており、総入館者数の8割の人が購入した。この日の総入館者の入館料の合計とおみやげの売り上げを合わせた金額は150000円で、おみやげを2個以上買った人はいなかった。 (1) $x$, $y$についての連立方程式を作れ。 (2) (1)の連立方程式を解いて、$x$と$y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

ある博物館の入館料は小学生260円、中学生と高校生は410円、大人は760円である。ある日の入館者数を調べると、中学生と高校生の合計入館者数は小学生の入館者数の2倍であり、大人の入館者数は小学生、中学生、高校生の合計入館者数よりも100人少なかった。この日の小学生の入館者数を$x$人、大人の入館者数を$y$人とするとき、以下の問いに答える。

(1) この日の総入館者数を$x$と$y$の両方を用いて表せ。

(2) さらに、この博物館では1個550円のおみやげを売っており、総入館者数の8割の人が購入した。この日の総入館者の入館料の合計とおみやげの売り上げを合わせた金額は150000円で、おみやげを2個以上買った人はいなかった。

(1) $x$, $y$についての連立方程式を作れ。

(2) (1)の連立方程式を解いて、$x$と$y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 総入館者数は、小学生の入館者数$x$人と、中学生と高校生の合計入館者数と、大人の入館者数$y$人の合計である。

中学生と高校生の合計入館者数は小学生の入館者数$x$人の2倍なので、$2x$人となる。

したがって、総入館者数は$x + 2x + y = 3x + y$人となる。

(2)

(1)

まず、問題文より以下の式が成り立つ。

中学生と高校生の合計入館者数は小学生の入館者数の2倍であるから、$2x$。大人の入館者数は小学生、中学生、高校生の合計入館者数よりも100人少ないので、$y = x + 2x - 100 = 3x - 100$。

総入館者数は$x + 2x + y = 3x + y$人。

総入館料は、小学生 $260x$円、中高生 $410 * 2x = 820x$円、大人 $760y$円なので、$260x + 820x + 760y = 1080x + 760y$円。

総入館者数の8割がおみやげを買うので、おみやげの売り上げは $550 * 0.8 * (3x + y) = 440(3x + y) = 1320x + 440y$円。

したがって、総入館料とおみやげの売り上げの合計は、$1080x + 760y + 1320x + 440y = 2400x + 1200y = 150000$。

これを簡単化すると $2x + y = 125$ となる。

$y = 3x - 100$ と $2x + y = 125$ の連立方程式を解く。

(2)

$y = 3x - 100$ を $2x + y = 125$ に代入すると、$2x + (3x - 100) = 125$。

$5x - 100 = 125$

$5x = 225$

$x = 45$

$y = 3 * 45 - 100 = 135 - 100 = 35$

3. 最終的な答え

(1) 総入館者数: $3x + y$

連立方程式:

$y = 3x - 100$

$2x + y = 125$

(2) $x = 45$, $y = 35$