多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ について、以下の問題を解きます。 (1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めます。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求めます。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ の取りうる値の範囲を求めます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ について、以下の問題を解きます。

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めます。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求めます。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求める。

$P(-1) = (-1)^3 - (k-1)(-1)^2 + (3k-6)(-1) + 4k - 6 = -1 - (k-1) - 3k + 6 + 4k - 6 = -1 - k + 1 - 3k + 6 + 4k - 6 = 0$

したがって、$P(x)$ は $x+1$ で割り切れる。組み立て除法を用いると、

\begin{array}{c|cccc}

-1 & 1 & -(k-1) & 3k-6 & 4k-6 \\

\hline

& & -1 & k & -4k+6 \\

\hline

& 1 & -k & 4k-6 & 0

\end{array}

よって、商は $x^2 - kx + 4k - 6$ である。

(2) $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6)$

$P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、

$x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ が $x = -1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要がある。

$x = -1$ を代入すると、$(-1)^2 - k(-1) + 4k - 6 = 1 + k + 4k - 6 = 5k - 5$

$5k - 5 \neq 0$ より $k \neq 1$

判別式を $D$ とすると、$D = (-k)^2 - 4(4k - 6) = k^2 - 16k + 24 > 0$

$k^2 - 16k + 24 = 0$ の解は $k = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(24)}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 96}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{160}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{10}$

よって、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$

これと $k \neq 1$ より、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $1 < k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$。

3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求める。

$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6) = 0$

$x+1 = 0$ より $x=-1$ は解である。

$x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha \beta = 4k - 6$

3つの解の積が1となるので、 $(-1)\alpha \beta = 1$ より $-\alpha \beta = 1$ すなわち $\alpha \beta = -1$

したがって、$4k - 6 = -1$ より $4k = 5$ となり、$k = \frac{5}{4}$

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ の取りうる値の範囲を求める。

$P(x)=(x+1)(x^2-kx+4k-6)=0$ より、$x = -1$ は解の一つである。$-2 < -1 < 1$ なので、$x=-1$ は条件を満たしている。

$f(x) = x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ が $-2 < x < 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持てばよい。

$f(-2) = (-2)^2 - k(-2) + 4k - 6 = 4 + 2k + 4k - 6 = 6k - 2 > 0$

$f(1) = (1)^2 - k(1) + 4k - 6 = 1 - k + 4k - 6 = 3k - 5 > 0$

$D = k^2 - 16k + 24 > 0$ はすでに(2)で求めた。

$6k - 2 > 0$ より $k > \frac{1}{3}$

$3k - 5 > 0$ より $k > \frac{5}{3}$

よって、$k > \frac{5}{3}$ が必要。

また、$x=-1$を解に持たないから、 $k \neq 1$はすでに満たされている。

軸の位置 $-\frac{-k}{2} = \frac{k}{2}$ が $-2 < \frac{k}{2} < 1$ より $-4 < k < 2$

したがって、$\frac{5}{3} < k < 2$ が候補となる。

この範囲において、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ を満たしている。

（なぜなら $8 - 2\sqrt{10} \approx 8 - 2(3.16) = 8 - 6.32 = 1.68$）

$k = \frac{5}{3}$のとき、$f(x) = x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{20}{3} - 6 = x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0$

$3x^2 - 5x + 2 = (3x-2)(x-1)=0$ より $x = \frac{2}{3}, 1$

$x = 1$は不適なので $k > \frac{5}{3}$

$k = 2$のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 8 - 6 = x^2 - 2x + 2 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ は実数解でないため不適

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - kx + 4k - 6$

(2) $k$ の範囲: $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$ ($k \neq 1$), $k = \frac{5}{4}$

(3) $k$ の範囲: $\frac{5}{3} < k < 2$