$\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{4}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{16}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{16}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{18}$

(2) $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ を計算します。

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

(1)で求めた $\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{18}$ を代入します。

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\frac{7}{18}} = \frac{18}{7}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{18}$

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{18}{7}$