袋の中に、1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5 の数字が書かれた12枚のカードが入っている。この母集団から、無作為に1個ずつ9個の標本を復元抽出する。 (1) 母平均 $m$ と母標準偏差 $\sigma$ を求める。 (2) 標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ と標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ を求める。

1. 問題の内容

袋の中に、1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5 の数字が書かれた12枚のカードが入っている。この母集団から、無作為に1個ずつ9個の標本を復元抽出する。

(1) 母平均 $m$ と母標準偏差 $\sigma$ を求める。

(2) 標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ と標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 母平均 $m$ の計算:

$m = \frac{1+1+2+3+3+3+3+3+3+4+5+5}{12} = \frac{36}{12} = 3$

母分散 $\sigma^2$ の計算:

$\sigma^2 = \frac{(1-3)^2 + (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 + (5-3)^2}{12}$

$\sigma^2 = \frac{4+4+1+0+0+0+0+0+0+1+4+4}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

母標準偏差 $\sigma$ の計算:

$\sigma = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) 標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ の計算:

$E(\bar{X}) = m = 3$

標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ の計算:

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

3. 最終的な答え

(1) $m = 3$, $\sigma = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $E(\bar{X}) = 3$, $\sigma(\bar{X}) = \frac{1}{\sqrt{6}}$