実数 $x, y$ において、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{x}$ であるための何条件か答える問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ において、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{x}$ であるための何条件か答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log_2{x^2}$ の定義域を考えます。真数は正である必要があるので、$x^2 > 0$。つまり、$x \neq 0$。

次に、$y = 2\log_2{x}$ の定義域を考えます。真数は正である必要があるので、$x > 0$。

次に、$y = \log_2{x^2}$ を変形します。

$$\log_2{x^2} = 2\log_2{|x|}$$

したがって、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{|x|}$ と同値です。

$x>0$ のとき、$|x|=x$ より、$y = 2\log_2{|x|} = 2\log_2{x}$ となります。

つまり、$y = \log_2{x^2}$ かつ $x>0$ ならば $y = 2\log_2{x}$ となります。

しかし、$y = \log_2{x^2}$ であっても、$x < 0$ の場合もあります。例えば、$x=-1$ のとき、$y = \log_2{(-1)^2} = \log_2{1} = 0$ ですが、$y = 2\log_2{x} = 2\log_2{(-1)}$ は定義されません。

したがって、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{x}$ であるための必要条件です。

逆に、$y = 2\log_2{x}$ ならば、必ず $y = \log_2{x^2}$ が成り立ちます。

なぜなら、$y = 2\log_2{x}$ という条件は、$x>0$ という条件を含んでおり、$x>0$ のとき $\log_2{x^2} = 2\log_2{x}$ が成り立つからです。

したがって、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{x}$ であるための十分条件ではありません。

したがって、$y = \log_2{x^2}$ は $y = 2\log_2{x}$ であるための必要条件です。

3. 最終的な答え

必要条件