正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられ、行列 $A$ が $A = (p_1, p_2, p_3, -2p_1 - 3p_2 + 4p_3)$ と定義される。ベクトル $b$ は $b = -p_1 + p_2 - p_3$ で与えられる。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられ、行列 $A$ が $A = (p_1, p_2, p_3, -2p_1 - 3p_2 + 4p_3)$ と定義される。ベクトル $b$ は $b = -p_1 + p_2 - p_3$ で与えられる。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

2. 解き方の手順

$A$ は $4 \times 4$ の行列であり、$x$ は 4次元ベクトルである。$x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$ とすると、$Ax = b$ は次のようになる。

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-2p_1 - 3p_2 + 4p_3) = -p_1 + p_2 - p_3$

この式を整理すると、

$(x_1 - 2x_4) p_1 + (x_2 - 3x_4) p_2 + (x_3 + 4x_4) p_3 = -p_1 + p_2 - p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、係数を比較すると次の連立方程式が得られる。

$x_1 - 2x_4 = -1$

$x_2 - 3x_4 = 1$

$x_3 + 4x_4 = -1$

これらの式から、$x_1, x_2, x_3$ を $x_4$ で表すと、

$x_1 = 2x_4 - 1$

$x_2 = 3x_4 + 1$

$x_3 = -4x_4 - 1$

したがって、解 $x$ は、

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_4 - 1 \\ 3x_4 + 1 \\ -4x_4 - 1 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_4 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = x_4 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$