## 問題の解答

## 問題の解答

### (1) 問題の内容

2点 A(-2, 0) と B(3, 5) からの距離の比が 2:3 である点の軌跡の方程式を求めます。

### (1) 解き方の手順

求める点の座標を (x, y) とします。

A(-2, 0) と (x, y) の距離は $\sqrt{(x+2)^2 + y^2}$ であり、B(3, 5) と (x, y) の距離は $\sqrt{(x-3)^2 + (y-5)^2}$ です。

距離の比が 2:3 であることから、以下の式が成り立ちます。

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} : \sqrt{(x-3)^2 + (y-5)^2} = 2 : 3$

この比の式を比例式に書き換えます。

$3\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-3)^2 + (y-5)^2}$

両辺を2乗します。

$9((x+2)^2 + y^2) = 4((x-3)^2 + (y-5)^2)$

展開して整理します。

$9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25)$

$9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 - 40y + 100$

$5x^2 + 60x + 5y^2 + 40y - 100 = 0$

両辺を5で割ります。

$x^2 + 12x + y^2 + 8y - 20 = 0$

平方完成します。

$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 8y + 16) = 20 + 36 + 16$

$(x+6)^2 + (y+4)^2 = 72$

### (1) 最終的な答え

$(x+6)^2 + (y+4)^2 = 72$

### (2) 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点 A(1, $\sqrt{3}$) における接線の方程式を求めます。

### (2) 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で表されます。

この問題では、$r^2 = 4$ であり、点 A は (1, $\sqrt{3}$) なので、$x_1 = 1$、$y_1 = \sqrt{3}$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$1 \cdot x + \sqrt{3} \cdot y = 4$

$x + \sqrt{3}y = 4$

### (2) 最終的な答え

$x + \sqrt{3}y = 4$

### (3) 問題の内容

$x = u + v$, $y = uv$ を満たす $u, v$ が全ての実数値をとって変化するとき、$x, y$ の条件を求めます。

### (3) 解き方の手順

$u$ と $v$ は $t$ に関する二次方程式 $t^2 - xt + y = 0$ の2つの実数解です。

この二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D = x^2 - 4y$ が $D \geq 0$ を満たすことです。

したがって、$x^2 - 4y \geq 0$ が求める条件です。

### (3) 最終的な答え

$x^2 - 4y \geq 0$