与えられた問題は次の通りです。 (1) $x^3 - 8 = 0$ を解け。 (2) $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ を解け。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$ を解け。 (4) $\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた問題は次の通りです。

(1) $x^3 - 8 = 0$ を解け。

(2) $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ を解け。

(3) $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$ を解け。

(4) $\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 8 = 0$ は、$x^3 = 8$ と書き換えられます。

これは、$x^3 = 2^3$ と同じです。

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$ です。

$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ です。

(2)

$\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ は $|x| \geq \frac{1}{x}$ と書き換えられます。

$x > 0$ のとき、$x \geq \frac{1}{x}$ なので、$x^2 \geq 1$ より $x \geq 1$ となります。

$x < 0$ のとき、$-x \geq \frac{1}{x}$ なので、$-x^2 \geq 1$ となりますが、これは常に偽です。

したがって、$x < 0$ では解は存在しません。

よって、$x \geq 1$ が解です。

(3)

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$ を解きます。

$2(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) < 1$

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < 1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$\sin y < \frac{1}{2}$ となる $y$ の範囲は、$\frac{5\pi}{6} < y < \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(4)

$\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$

$\log_2(x-2) \leq 3 - \log_2(x-4)$

$\log_2(x-2) + \log_2(x-4) \leq 3$

$\log_2((x-2)(x-4)) \leq 3$

$(x-2)(x-4) \leq 2^3$

$x^2 - 6x + 8 \leq 8$

$x^2 - 6x \leq 0$

$x(x-6) \leq 0$

$0 \leq x \leq 6$

ただし、$x-2 > 0$ かつ $x-4 > 0$ である必要があるため、$x > 4$

したがって、$4 < x \leq 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

(2) $x \geq 1$

(3) $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(4) $4 < x \leq 6$