与えられた偏導関数から元の関数を求める問題です。 問題1: 領域Dにおいて、$f_x(x,y) = a$、$f_y(x,y) = b$（$a, b$は定数）のとき、$f(x,y) = ax + by + c$（$c$は定数）であることを証明する。 問題2: 領域Dにおいて、$f_x(x,y) = 2xy$、$f_y(x,y) = x^2$のとき、$f(x,y) = x^2y + c$（$c$は定数）であることを証明する。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた偏導関数から元の関数を求める問題です。

問題1:

領域Dにおいて、$f_x(x,y) = a$、$f_y(x,y) = b$（$a, b$は定数）のとき、$f(x,y) = ax + by + c$（$c$は定数）であることを証明する。

問題2:

領域Dにおいて、$f_x(x,y) = 2xy$、$f_y(x,y) = x^2$のとき、$f(x,y) = x^2y + c$（$c$は定数）であることを証明する。

2. 解き方の手順

問題1:

$f_x(x,y) = a$を$x$で積分すると、

$$$$

f(x,y) = \int a dx = ax + g(y)

$$$$

ここで、$g(y)$は$y$のみの関数です。

次に、$f(x,y) = ax + g(y)$を$y$で偏微分すると、

$$$$

f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (ax + g(y)) = g'(y)

$$$$

問題より、$f_y(x,y) = b$なので、$g'(y) = b$となります。

$g'(y) = b$を$y$で積分すると、

$$$$

g(y) = \int b dy = by + c

$$$$

ここで、$c$は積分定数です。

したがって、$f(x,y) = ax + g(y) = ax + by + c$となります。

問題2:

$f_x(x,y) = 2xy$を$x$で積分すると、

$$$$

f(x,y) = \int 2xy dx = x^2y + h(y)

$$$$

ここで、$h(y)$は$y$のみの関数です。

次に、$f(x,y) = x^2y + h(y)$を$y$で偏微分すると、

$$$$

f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y + h(y)) = x^2 + h'(y)

$$$$

問題より、$f_y(x,y) = x^2$なので、$x^2 + h'(y) = x^2$となります。

したがって、$h'(y) = 0$となります。

$h'(y) = 0$を$y$で積分すると、

$$$$

h(y) = \int 0 dy = c

$$$$

ここで、$c$は積分定数です。

したがって、$f(x,y) = x^2y + h(y) = x^2y + c$となります。

3. 最終的な答え

問題1:

$f(x,y) = ax + by + c$

問題2:

$f(x,y) = x^2y + c$