袋の中に白玉が3個、赤玉が7個入っている。この袋から玉を1個ずつ、もとに戻さずに3回続けて取り出す。このとき、白玉が出た回数を$X$とする。$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が3個、赤玉が7個入っている。この袋から玉を1個ずつ、もとに戻さずに3回続けて取り出す。このとき、白玉が出た回数を$X$とする。$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回目に白玉が出る確率を$p_1$、2回目に白玉が出る確率を$p_2$、3回目に白玉が出る確率を$p_3$とする。

1回目の試行では、10個の玉のうち3個が白玉なので、$p_1 = \frac{3}{10}$。

2回目の試行では、1回目に白玉が出た場合と赤玉が出た場合で確率が変わる。

- 1回目に白玉が出た場合、残り9個の玉のうち白玉は2個なので、確率は$\frac{2}{9}$。

- 1回目に赤玉が出た場合、残り9個の玉のうち白玉は3個なので、確率は$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

しかし、期待値を計算する上では、周辺確率で考えることができ、2回目の試行で白玉が出る確率は、1回目に何が出たかに関わらず、$\frac{3}{10}$となる。同様に、3回目の試行で白玉が出る確率も$\frac{3}{10}$となる。

$E(X)$は、各試行で白玉が出る確率の和なので、

$E(X) = p_1 + p_2 + p_3 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$。

$V(X)$は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$で計算できる。

ここで、$E(X^2)$は計算が複雑になるので、以下の公式を用いる。

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i (1-p_i)$, ここで、$n$は試行回数、$p_i$はi回目の試行で成功する確率。

この問題の場合、$n = 3$ であり、各試行で白玉が出る確率は全て$\frac{3}{10}$であるから、

$V(X) = 3 \times \frac{3}{10} \times (1-\frac{3}{10}) = 3 \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{63}{100}$

しかし、これは独立試行の場合のみ利用できる。今回は独立ではないので、別の方法で求める必要がある。

確率変数$X_i$ を、i回目の試行で白玉が出たら1、そうでなければ0とする。このとき、 $X = X_1 + X_2 + X_3$である。

$V(X) = V(X_1 + X_2 + X_3) = \sum_{i=1}^3 V(X_i) + 2\sum_{i<j} Cov(X_i, X_j)$.

$V(X_i) = p_i(1-p_i) = \frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10} = \frac{21}{100}$ なので $\sum_{i=1}^3 V(X_i) = \frac{63}{100}$。

$Cov(X_i, X_j) = E(X_iX_j) - E(X_i)E(X_j)$.

$E(X_i) = \frac{3}{10}$.

$E(X_iX_j)$は、$i$回目と$j$回目(ただし$i < j$)の両方で白玉が出る確率なので、

$E(X_1X_2) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$。

$Cov(X_1, X_2) = \frac{1}{15} - \frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10} = \frac{1}{15} - \frac{9}{100} = \frac{20 - 27}{300} = -\frac{7}{300}$.

同様に、$Cov(X_1, X_3) = Cov(X_2, X_3) = -\frac{7}{300}$ なので、 $2\sum_{i<j} Cov(X_i, X_j) = 2 \times 3 \times (-\frac{7}{300}) = -\frac{42}{300} = -\frac{14}{100}$.

$V(X) = \frac{63}{100} - \frac{14}{100} = \frac{49}{100}$.

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{9}{10}$

$V(X) = \frac{49}{100}$