多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられている。ただし、$k$は実数の定数である。 (1) $P(x)$を$x+1$で割った商を求める。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求める。また、この3つの実数解の積が1となるような$k$の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられている。ただし、$k$は実数の定数である。

(1) $P(x)$を$x+1$で割った商を求める。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求める。また、この3つの実数解の積が1となるような$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$を$x+1$で割ったときの商を求める。これは組立除法を使うと効率的である。

組立除法を実行すると、

```

-1 | 1 -(k-1) 3k-6 4k-6

| -1 k -4k+6

------------------------------

1 -k 4k-6 0

```

したがって、$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6)$となり、商は$x^2 - kx + 4k - 6$である。

(2) $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ条件を考える。

$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6)$なので、$x+1=0$すなわち$x=-1$は$P(x)=0$の一つの解である。

$x^2 - kx + 4k - 6 = 0$ が、$x=-1$とは異なる2つの実数解を持つことが必要十分である。

$f(x) = x^2 - kx + 4k - 6$とおく。

まず、$x=-1$が解でない条件は$f(-1) \neq 0$である。

$f(-1) = (-1)^2 - k(-1) + 4k - 6 = 1 + k + 4k - 6 = 5k - 5 \neq 0$

よって、$k \neq 1$。

次に、$f(x) = 0$が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式$D > 0$である。

$D = (-k)^2 - 4(1)(4k-6) = k^2 - 16k + 24 > 0$

$k^2 - 16k + 24 = 0$の解は、$k = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(24)}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 96}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{10}$

よって、$k < 8 - 2\sqrt{10}$または$k > 8 + 2\sqrt{10}$。

したがって、異なる3つの実数解を持つ$k$の範囲は、$k < 8 - 2\sqrt{10}, 8 - 2\sqrt{10} < k < 1, 1 < k < 8 + 2\sqrt{10}, k > 8 + 2\sqrt{10}$である。

3つの実数解の積が1となる条件を考える。

$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k - 6) = 0$

解の一つは$-1$である。$x^2 - kx + 4k - 6 = 0$の2つの解を$\alpha, \beta$とすると、解の積は$\alpha\beta = 4k - 6$である。

3つの解の積が1であるから、$(-1)(\alpha\beta) = 1$

$-(4k-6) = 1$

$-4k + 6 = 1$

$-4k = -5$

$k = \frac{5}{4}$

$k = \frac{5}{4}$は$k < 8 - 2\sqrt{10}$の範囲に含まれるので条件を満たす。

$8 - 2\sqrt{10} \approx 8 - 2(3.16) = 8 - 6.32 = 1.68$

$\frac{5}{4} = 1.25 < 1.68$

また、$k \neq 1$の条件も満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - kx + 4k - 6$

(2) $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $8 + 2\sqrt{10} < k$, かつ $k \neq 1$。3つの実数解の積が1となるときの$k$の値は $\frac{5}{4}$。