行列A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列をガウスの消去法で求め、行列B = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を余因子行列を用いた手法で求める。

1. 問題の内容

行列A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列をガウスの消去法で求め、行列B = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を余因子行列を用いた手法で求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの逆行列をガウスの消去法で求める。

まず、行列Aに単位行列を並べた拡大行列を作成する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、行列Aの逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの逆行列を余因子行列を用いた手法で求める。

まず、行列Bの行列式を計算する。

$det(B) = 1(1*2 - 0*2) - 0(0*2 - 0*1) + (-1)(0*2 - 1*1) = 2 + 1 = 3$

次に、行列Bの余因子行列を計算する。

$C_{11} = 1*2 - 0*2 = 2$

$C_{12} = -(0*2 - 0*1) = 0$

$C_{13} = 0*2 - 1*1 = -1$

$C_{21} = -(0*2 - (-1)*2) = -2$

$C_{22} = 1*2 - (-1)*1 = 3$

$C_{23} = -(1*2 - 0*1) = -2$

$C_{31} = 0*0 - (-1)*1 = 1$

$C_{32} = -(1*0 - (-1)*0) = 0$

$C_{33} = 1*1 - 0*0 = 1$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

転置すると

$\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、行列Bの逆行列は

$B^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}$