4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ を求める。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 2 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ を求める。

2. 解き方の手順

行列式を計算する。

まず、2行目の先頭の要素が2なので、これを0にすることを考える。1行目を-1/2倍して2行目に足すと、以下のようになる。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 0 & -1 & 10 & -15/2 \\ 3 & -1 & 4 & -2 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$

次に、3行目の要素を調整するために、1行目を-3/4倍して3行目に足すと、以下のようになる。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 0 & -1 & 10 & -15/2 \\ 0 & -5/2 & 10 & -35/4 \\ -7 & 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$

最後に、4行目の要素を調整するために、1行目を7/4倍して4行目に足すと、以下のようになる。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 & 9 \\ 0 & -1 & 10 & -15/2 \\ 0 & -5/2 & 10 & -35/4 \\ 0 & 10/4 & -23 & 87/4 \end{pmatrix}$

次に、1行目を基準にして余因子展開をすると、以下のようになる。

$|A| = 4 \begin{vmatrix} -1 & 10 & -15/2 \\ -5/2 & 10 & -35/4 \\ 10/4 & -23 & 87/4 \end{vmatrix}$

次に、-2行目を-5/2倍、3行目を10/4倍とすると、

$|A| = 4 \begin{vmatrix} -1 & 10 & -15/2 \\ 0 & -15 & 25/4 \\ 0 & -1 & 12 \end{vmatrix}$

$|A| = 4(-1)*((-10*87/4 - (-23*15/2))) = 4*(-1*(10*10-(-5/2)*10))$

$|A| = 4(-1(10*-10/4 - 1*(-5/2)*(-1/1))*12))$

$|A| = 4*(-1)*\begin{vmatrix} 10 & -35/4 \\ -23 & 87/4 \end{vmatrix}$

$= 4(-1) (10*87/4 - (-35/4)*(-23))$

$= 4(-1) (870/4 - 805/4)$

$= 4(-1) (65/4)$

$= -65$

3. 最終的な答え

-65