(1) 曲線 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ と直線 $y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。 (2) 極方程式で表された2つの曲線 $r = 4$ $(\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2})$ と $r = 4 + \cos \theta$ $(\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2})$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ と直線 $y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) 極方程式で表された2つの曲線 $r = 4$ $(\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2})$ と $r = 4 + \cos \theta$ $(\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2})$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ は $y = \arcsin x$ を微分したものである。

よって、$y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の不定積分は $\arcsin x$ である。

まず、交点を求める。

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{1-x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1-x^2 = \frac{3}{4}$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$

よって、交点のx座標は $x = \pm \frac{1}{2}$ である。

求める面積は

$S = \int_{-1/2}^{1/2} (\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) dx = [\frac{2}{\sqrt{3}}x - \arcsin x]_{-1/2}^{1/2}$

$= (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} - \arcsin \frac{1}{2}) - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot (-\frac{1}{2}) - \arcsin (-\frac{1}{2}))$

$= (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6}) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{3}$

(2)

極座標における面積の公式は $S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ である。

求める面積は

$S = \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} ((4 + \cos \theta)^2 - 4^2) d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (16 + 8\cos \theta + \cos^2 \theta - 16) d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (8\cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta$

ここで、$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いる。

$S = \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (8\cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}) d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (8\cos \theta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\theta) d\theta$

$= \frac{1}{2} [8\sin \theta + \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta]_{\pi/2}^{3\pi/2}$

$= \frac{1}{2} [(8\sin \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin 3\pi) - (8\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin \pi)]$

$= \frac{1}{2} [(8(-1) + \frac{3\pi}{4} + 0) - (8(1) + \frac{\pi}{4} + 0)]$

$= \frac{1}{2} [-8 + \frac{3\pi}{4} - 8 - \frac{\pi}{4}] = \frac{1}{2} [-16 + \frac{2\pi}{4}] = \frac{1}{2} [-16 + \frac{\pi}{2}] = -8 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - 8$

しかし、面積が負になるのはおかしいので、符号を反転して $S = 8 - \frac{\pi}{4}$ と考えられる。もしくは、$r = 4 + \cos \theta$ の積分範囲を $[-\pi/2, \pi/2]$として考えると

$2 * \frac{1}{2} \int_{\pi/2}^{\pi} (8\cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}) d\theta$となる.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{3}$

(2) $8 - \frac{\pi}{4}$