与えられた定積分を計算する問題です。積分は以下の通りです。 $\int_0^l \sqrt{1+4a^2x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。積分は以下の通りです。

$\int_0^l \sqrt{1+4a^2x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、変数変換を用いて解くことができます。具体的には、双曲線関数を利用します。

まず、$x = \frac{1}{2a}\sinh{u}$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{2a}\cosh{u} du$となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$0 = \frac{1}{2a}\sinh{u}$ なので、$u = 0$ です。

$x = l$ のとき、$l = \frac{1}{2a}\sinh{u}$ なので、$u = \sinh^{-1}(2al)$ です。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \sqrt{1 + 4a^2(\frac{1}{4a^2}\sinh^2{u})} \frac{1}{2a}\cosh{u} du$

これは以下のように簡略化できます。

$\int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \sqrt{1 + \sinh^2{u}} \frac{1}{2a}\cosh{u} du$

双曲線関数の恒等式 $\cosh^2{u} - \sinh^2{u} = 1$ から $\sqrt{1 + \sinh^2{u}} = \cosh{u}$ なので、

$\int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \cosh{u} \frac{1}{2a}\cosh{u} du = \frac{1}{2a} \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \cosh^2{u} du$

$\cosh^2{u} = \frac{1 + \cosh{2u}}{2}$ なので、

$\frac{1}{2a} \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \frac{1 + \cosh{2u}}{2} du = \frac{1}{4a} \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} (1 + \cosh{2u}) du$

$\frac{1}{4a} [u + \frac{1}{2}\sinh{2u}]_0^{\sinh^{-1}(2al)}$

$\sinh{2u} = 2\sinh{u}\cosh{u}$ なので、

$\frac{1}{4a} [u + \sinh{u}\cosh{u}]_0^{\sinh^{-1}(2al)}$

$u = \sinh^{-1}(2al)$ のとき、$\sinh{u} = 2al$ であり、$\cosh{u} = \sqrt{1 + \sinh^2{u}} = \sqrt{1 + 4a^2l^2}$ です。

したがって、

$\frac{1}{4a} [\sinh^{-1}(2al) + 2al\sqrt{1 + 4a^2l^2}]$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4a} [\sinh^{-1}(2al) + 2al\sqrt{1 + 4a^2l^2}]$