直径が3の円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cをとる。点Cから円Oに接線を引き、接点をTとする。 (1) CTの長さを求める。 (2) ATの長さを求める。 (3) 線分TBを2:1に内分する点をD、直線ADと直線CTとの交点をEとする。このときDEの長さを求める。

1. 問題の内容

直径が3の円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cをとる。点Cから円Oに接線を引き、接点をTとする。

(1) CTの長さを求める。

(2) ATの長さを求める。

(3) 線分TBを2:1に内分する点をD、直線ADと直線CTとの交点をEとする。このときDEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) CTの長さを求める。

方べきの定理より、$CT^2 = CB \cdot CA$ が成り立つ。

ABは円の直径なので、AB = 3。

AB = BC なので、BC = 3。

したがって、CA = AB + BC = 3 + 3 = 6。

$CT^2 = 3 \cdot 6 = 18$

$CT = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) ATの長さを求める。

△OCTは直角三角形であり、OC = OB + BC = 1.5 + 3 = 4.5, OT = 1.5, CT = $3\sqrt{2}$

△OTAも直角三角形であり、OT = 1.5, ATを求める。

まず∠COTを求める。$\tan{\angle{COT}} = \frac{CT}{OT} = \frac{3\sqrt{2}}{1.5} = 2\sqrt{2}$

$\cos{\angle{AOT}} = \cos{(\pi - \angle{COT})} = - \cos{\angle{COT}}$

$\cos{\angle{COT}} = \frac{OT}{OC} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$

$\cos{\angle{AOT}} = - \frac{1}{3}$

余弦定理より、$AT^2 = OA^2 + OT^2 - 2 OA \cdot OT \cos{\angle{AOT}}$

$AT^2 = (1.5)^2 + (1.5)^2 - 2 (1.5)(1.5) (-\frac{1}{3}) = 2.25 + 2.25 + 1.5 = 6$

$AT = \sqrt{6}$

(3) DEの長さを求める。

点DはTBを2:1に内分するので、TD:DB=2:1

メネラウスの定理より、△BTCと直線ADにおいて

$\frac{BD}{DT} \cdot \frac{TE}{EC} \cdot \frac{CA}{AB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{TE}{EC} \cdot \frac{6}{3} = 1$

$\frac{TE}{EC} = 1$

よって、TE = EC

EはTCの中点となる。

TC = $3\sqrt{2}$ であるから、TE = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

△TDB∽△EDAであるから、

$\frac{DE}{TD}=\frac{AE}{TB}$

方べきの定理より $CT^2=CB \cdot CA=3 \cdot 6=18$,$CT=3\sqrt{2}$

$BT = \sqrt{OB^2 + OT^2} = \sqrt{4.5^2+1.5^2}= \sqrt{22.5} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

$TD = \frac{2}{3} TB = \frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

また、$\triangle CTE$において$TE=EC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$であり、$CT = 3\sqrt{2}$、$CB=3$、$BA=3$

$\triangle TDB$と$\triangle EDA$において$\frac{TD}{BD} = \frac{2}{1}$、$\frac{TE}{EC} = 1$,

$\frac{AD}{BD}=\frac{AT}{BT}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$,$\frac{AE}{TE}=\frac{DE}{BD}$

$\frac{TC}{CE} \cdot \frac{EA}{AT} \cdot \frac{TD}{DC} = 1$

$\frac{TD}{TB}=\frac{2}{3}$, $\angle BTC=\angle CAB, \angle TCB=TCA$,$DE=TE-TD = ...$

別の考え方:

点DはTBを2:1に内分する点なので、座標で考える。

点Tを原点(0,0)、Bを(x,0)とすると、Dは(2x/3,0)になる。

点Aの座標を求める。円の中心Oは(x/2,0), 半径は1.5なので、A(x/2-1.5, 0)

3. 最終的な答え

(1) CTの長さ：$3\sqrt{2}$

(2) ATの長さ：$\sqrt{6}$

(3) DEの長さ：計算中