A地点からB地点まで行く2つのコース、アとイの長さを比較する問題です。コースアはABを直径とする半円の弧で、コースイはAPとPBをそれぞれ直径とする2つの半円の弧を合わせたものです。AP:PB = 1:3 であり、AB = 8a (m)です。2つのコースの長さがどちらが短いか、または等しいか答え、その理由を説明する必要があります。

1. 問題の内容

A地点からB地点まで行く2つのコース、アとイの長さを比較する問題です。コースアはABを直径とする半円の弧で、コースイはAPとPBをそれぞれ直径とする2つの半円の弧を合わせたものです。AP:PB = 1:3 であり、AB = 8a (m)です。2つのコースの長さがどちらが短いか、または等しいか答え、その理由を説明する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、円周の公式 $C = 2 \pi r = \pi d$ を思い出します。ここで、$r$は半径、$d$は直径です。

コースアの長さは、直径ABの半円の弧の長さなので、次のようになります。

$$$$

\text{コースアの長さ} = \frac{1}{2} \pi (8a) = 4 \pi a

$$$$

次に、コースイの長さを計算します。AP = xとすると、PB = 3xとなり、x + 3x = 8aなので、4x = 8a、したがってx = 2aとなります。

よって、AP = 2a、PB = 6aです。

コースイの長さは、APを直径とする半円の弧の長さと、PBを直径とする半円の弧の長さを足したものです。

$$$$

\text{コースイの長さ} = \frac{1}{2} \pi (2a) + \frac{1}{2} \pi (6a) = \pi a + 3 \pi a = 4 \pi a

$$$$

コースアとコースイの長さを比較すると、$4 \pi a = 4 \pi a$ となり、2つのコースの長さは等しいことがわかります。

3. 最終的な答え

答え：等しい

理由：

コースアの長さは、ABを直径とする半円の弧の長さなので、$\frac{1}{2} \pi (8a) = 4 \pi a$。

コースイの長さは、APを直径とする半円の弧の長さとPBを直径とする半円の弧の長さを足したものである。AP = 2a, PB = 6aなので、コースイの長さは$\frac{1}{2} \pi (2a) + \frac{1}{2} \pi (6a) = \pi a + 3 \pi a = 4 \pi a$。

したがって、コースアとコースイの長さは等しい。