1つのサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 1の目がちょうど2回だけ出る確率 (2) 5以上の目がちょうど3回だけ出る確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 1の目がちょうど2回だけ出る確率

(2) 5以上の目がちょうど3回だけ出る確率

2. 解き方の手順

(1) 1の目がちょうど2回だけ出る確率

4回のうち2回、1の目が出る組み合わせの数は、二項係数を用いて $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、1の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$ です。

したがって、確率は以下のようになります。

$6 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

(2) 5以上の目がちょうど3回だけ出る確率

4回のうち3回、5以上の目が出る組み合わせの数は、二項係数を用いて $_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$通りです。

5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、5以上の目が出ない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

したがって、確率は以下のようになります。

$4 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^1 = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 1の目がちょうど2回だけ出る確率: $\frac{25}{216}$

(2) 5以上の目がちょうど3回だけ出る確率: $\frac{8}{81}$