(1) 整式 $f(x)$ を $x^2 - 6x - 7$ で割ったときの余りが $2x + 1$ であるとき、$f(x)$ を $x + 1$ で割った余りを求める。 (2) 多項式 $P(x) = 4x^4 + ax^3 - 11x^2 + b$ が $2x^2 - x - 1$ で割り切れるように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $f(x)$ を $x^2 - 6x - 7$ で割ったときの余りが $2x + 1$ であるとき、$f(x)$ を $x + 1$ で割った余りを求める。

(2) 多項式 $P(x) = 4x^4 + ax^3 - 11x^2 + b$ が $2x^2 - x - 1$ で割り切れるように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - 6x - 7 = (x + 1)(x - 7)$ であるから、$f(x)$ を $x^2 - 6x - 7$ で割ったときの余りが $2x + 1$ であるということは、$f(x)$ は次のように表せる。

$f(x) = (x^2 - 6x - 7)Q(x) + 2x + 1 = (x + 1)(x - 7)Q(x) + 2x + 1$

ここで、$Q(x)$ はある整式である。

$f(x)$ を $x + 1$ で割った余りを求めるには、$f(-1)$ を計算すればよい。

$f(-1) = (-1 + 1)(-1 - 7)Q(-1) + 2(-1) + 1 = 0 - 2 + 1 = -1$

したがって、$f(x)$ を $x + 1$ で割った余りは $-1$ である。

(2)

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$ である。$P(x)$ が $2x^2 - x - 1$ で割り切れるということは、$P(x)$ が $2x + 1$ と $x - 1$ で割り切れるということである。したがって、$P(-\frac{1}{2}) = 0$ かつ $P(1) = 0$ となる。

$P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^4 + a(-\frac{1}{2})^3 - 11(-\frac{1}{2})^2 + b = \frac{1}{4} - \frac{a}{8} - \frac{11}{4} + b = -\frac{10}{4} - \frac{a}{8} + b = 0$

$- \frac{a}{8} + b = \frac{5}{2}$

$-a + 8b = 20$

$P(1) = 4(1)^4 + a(1)^3 - 11(1)^2 + b = 4 + a - 11 + b = a + b - 7 = 0$

$a + b = 7$

$-a + 8b = 20$

$a + b = 7$

2式を足すと $9b = 27$ となるので、$b = 3$。

$a = 7 - b = 7 - 3 = 4$

したがって、$a = 4, b = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $a = 4, b = 3$