1次変換 $f(\vec{x}) = A\vec{x}$ によって、$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を2辺とする正方形がどのような図形に写されるかを、以下の2つの行列 $A$ についてそれぞれ図示する。 (1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

1次変換 $f(\vec{x}) = A\vec{x}$ によって、$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を2辺とする正方形がどのような図形に写されるかを、以下の2つの行列 $A$ についてそれぞれ図示する。

(1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

正方形の頂点の座標は $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ である。これらの点をそれぞれ $A$ で変換し、写された点を結んでできる図形を描けばよい。

(1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合

- $(0,0)$ は $A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(1,0)$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(0,1)$ は $A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(1,1)$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$ に写る。

したがって、これらの点を結ぶと平行四辺形ができる。

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ の場合

- $(0,0)$ は $A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(1,0)$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(0,1)$ は $A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写る。

- $(1,1)$ は $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ に写る。

したがって、これらの点を結ぶと線分になる。正確には、原点と $(2,3)$ を結ぶ線分と、$(2,3)$ と $(4,6)$ を結ぶ線分が重なった線分ができる。これは原点と $(4,6)$ を結ぶ線分になる。

3. 最終的な答え

(1) の解答欄には、$(0,0), (5,2), (1,4), (6,6)$ を頂点とする平行四辺形を描く。

(2) の解答欄には、$(0,0)$ と $(4,6)$ を結ぶ線分を描く。