与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 複素数に関する等式 $a(1+i)^2 + b(2+3i)(3-2i) = -6+4i$ を満たす実数 $a, b$ の値を求める問題。ただし、$i^2 = -1$。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $BC=6$, $CA=3$ のとき、$\cos B$ の値を求め、次に、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分ADの長さを求める問題。 (3) 3進法で表された数 $20120_{(3)}$ を10進法で表す問題。 (4) 直線 $y = 3x+1$ と $x$ 軸とのなす角を $\alpha$ とするとき、$\tan \alpha$ の値を求め、次に、直線 $y=3x+1$ と直線 $y = -\frac{1}{2}x$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\theta$ の値を求める問題。ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下とする。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 複素数に関する等式 $a(1+i)^2 + b(2+3i)(3-2i) = -6+4i$ を満たす実数 $a, b$ の値を求める問題。ただし、$i^2 = -1$。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $BC=6$, $CA=3$ のとき、$\cos B$ の値を求め、次に、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分ADの長さを求める問題。

(3) 3進法で表された数 $20120_{(3)}$ を10進法で表す問題。

(4) 直線 $y = 3x+1$ と $x$ 軸とのなす角を $\alpha$ とするとき、$\tan \alpha$ の値を求め、次に、直線 $y=3x+1$ と直線 $y = -\frac{1}{2}x$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\theta$ の値を求める問題。ただし、2直線のなす角は $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた等式を整理します。

$a(1+i)^2 = a(1+2i+i^2) = a(1+2i-1) = 2ai$

$b(2+3i)(3-2i) = b(6 - 4i + 9i - 6i^2) = b(6 + 5i + 6) = b(12+5i)$

したがって、$2ai + b(12+5i) = -6 + 4i$ となります。

実部と虚部を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$12b = -6$

$2a + 5b = 4$

これを解きます。

(2)

$\cos B$ は余弦定理を用いて求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

$3^2 = 5^2 + 6^2 - 2(5)(6)\cos B$

$9 = 25 + 36 - 60\cos B$

$60\cos B = 52$

$\cos B = \frac{52}{60} = \frac{13}{15}$

次に、ADの長さを求めます。角の二等分線の定理より $BD:CD = AB:AC = 5:3$.

$BD = \frac{5}{5-3}BC = \frac{5}{2}BC = \frac{5}{2} \times 6 = 15$

$\triangle ABD$に余弦定理を適用する．$\angle ABD = 180^\circ - B$なので$\cos{\angle ABD}=-\cos{B} = -13/15$

$AD^2 = AB^2 + BD^2 -2AB \cdot BD \cos{\angle ABD} = 5^2+15^2 -2(5)(15)(-13/15)= 25+225+130 = 380$

$AD = \sqrt{380} = 2\sqrt{95}$

(3)

$20120_{(3)} = 2 \cdot 3^4 + 0 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 2 \cdot 81 + 0 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 = 162 + 9 + 6 = 177$

(4)

直線 $y = 3x+1$ と $x$ 軸とのなす角を $\alpha$ とするとき、$\tan \alpha$ は直線の傾きに等しいので、$\tan \alpha = 3$ となります。

次に、直線 $y=3x+1$ と直線 $y=-\frac{1}{2}x$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2} \right|$

$m_1 = 3$, $m_2 = -\frac{1}{2}$

$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-\frac{1}{2})}{1 + 3(-\frac{1}{2})} \right| = \left| \frac{3 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} \right| = \left| -7 \right| = 7$

$\theta = \arctan 7$.

しかし、$\theta$ は $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下なので、この$\theta$は範囲外である。$tan(\pi - \theta) = -tan(\theta)$であるので、２直線のなす角は$\theta$, $\pi - \theta$のうち小さいほうであり、絶対値を取っているので、$tan \theta$の値は変わらない．しかし、傾きを反転させた時と同じなので、問題の解釈を間違えている可能性が高い．$y = 3x+1$と$y= -1/2 x$ のなす角はtan$\theta = 7$である．

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{23}{6}, b = -\frac{1}{2}$

(2) $\cos B = \frac{13}{15}$, $AD = 2\sqrt{95}$

(3) $177$

(4) $\tan \alpha = 3$, $\theta = \arctan 7$