問題文には2つの問題が含まれています。 (3) 円の伸開線 $x = a(\cos t + t \sin t)$, $y = a(\sin t - t \cos t)$ の $0 \le t \le \pi$ の部分について考察します。 (4) 曲線 $x = e^t \sin t$, $y = e^t \cos t$ の $0 \le t \le \pi$ の部分について考察します。 問題文が「考察」を求めているだけで、何をすべきか明示していないため、ここではそれぞれの曲線について弧長を求めることにします。

1. 問題の内容

問題文には2つの問題が含まれています。

(3) 円の伸開線 $x = a(\cos t + t \sin t)$, $y = a(\sin t - t \cos t)$ の $0 \le t \le \pi$ の部分について考察します。

(4) 曲線 $x = e^t \sin t$, $y = e^t \cos t$ の $0 \le t \le \pi$ の部分について考察します。

問題文が「考察」を求めているだけで、何をすべきか明示していないため、ここではそれぞれの曲線について弧長を求めることにします。

2. 解き方の手順

(3) 円の伸開線 $x = a(\cos t + t \sin t)$, $y = a(\sin t - t \cos t)$ の弧長を求めます。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t \cos t) = at \cos t$

$\frac{dy}{dt} = a(\cos t - \cos t + t \sin t) = at \sin t$

弧長を求める公式は $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$ です。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (at \cos t)^2 + (at \sin t)^2 = a^2 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2 t^2$

よって、$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{a^2 t^2} dt = \int_{0}^{\pi} |a t| dt$

$a > 0$ と仮定すると、 $L = \int_{0}^{\pi} a t dt = a \int_{0}^{\pi} t dt = a [\frac{t^2}{2}]_{0}^{\pi} = a \frac{\pi^2}{2}$

(4) 曲線 $x = e^t \sin t$, $y = e^t \cos t$ の弧長を求めます。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = e^{2t} (\sin t + \cos t)^2 + e^{2t} (\cos t - \sin t)^2$

$= e^{2t} (\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t + \cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t)$

$= e^{2t} (2 \sin^2 t + 2 \cos^2 t) = 2 e^{2t}$

よって、$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2 e^{2t}} dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2} e^t dt = \sqrt{2} [e^t]_{0}^{\pi} = \sqrt{2} (e^{\pi} - e^0) = \sqrt{2} (e^{\pi} - 1)$

3. 最終的な答え

(3) 円の伸開線の弧長は $\frac{a\pi^2}{2}$ です。

(4) 曲線の弧長は $\sqrt{2}(e^{\pi} - 1)$ です。