$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \cos^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 3\sin^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \cos^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 3\sin^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の公式を用いて変形する。

$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ および $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を用いる。

$f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 2\sin^2 x$

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3} \sin 2x - 2\sin^2 x$

次に、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて $\sin^2 x$ を消去する。

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3} \sin 2x - 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)$

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3} \sin 2x - 1 + \cos 2x$

$f(x) = 2\cos 2x + 2\sqrt{3} \sin 2x - 1$

さらに、$f(x)$ を合成する。

$f(x) = A \sin(2x + \alpha) - 1$ となるように $A$ と $\alpha$ を求める。

$A = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

$f(x) = 4\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$

$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ の最大値は $1$ ($2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}$)。

$\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ の最小値は $-1/2$ ($2x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$)。

$f(x)$ の最大値は $4(1) - 1 = 3$ ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)。

$f(x)$ の最小値は $4(-\frac{1}{2}) - 1 = -2 - 1 = -3$ ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)。

3. 最終的な答え

最大値：$3$ ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値：$-3$ ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)