与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ の微分を計算します。

$$\frac{d}{dx} (x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$$

被積分関数を変形します。

$$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 + 81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 - 9 \sin^2 x + 81 - 72 \sin^2 x - 9 \cos^2 x + 9 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 - 9 \sin^2 x - 72 \sin^2 x + 81 \cos^2 x - 9 \cos^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} + \frac{9}{x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{-9 \cos x + x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{(-9 (-\sin x) + \sin x + x \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-9 \cos x + x \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{(10 \sin x + x \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-9 \cos x + x \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{10 x \sin^2 x + 90 \sin x \cos x + x^2 \sin x \cos x + 9 x \cos^2 x - (-9 x \cos^2 x + 72 \cos x \sin x + x^2 \sin x \cos x - 8 x \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{10 x \sin^2 x + 90 \sin x \cos x + 9 x \cos^2 x + 9 x \cos^2 x - 72 \sin x \cos x + 8 x \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x(18 \sin^2 x + 18 \cos^2 x) + (90 - 72) \sin x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{18 x + 18 \sin x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$u = x \sin x + 9 \cos x$ と置くと $du = (x \cos x - 8 \sin x) dx$ となりますが、これは被積分関数に現れません。

$\frac{-x \cos x + \sin x}{\cos x + x \sin x}$

微分すると $\frac{ x^2 + 1 }{x \sin x + \cos x}^2$

$\frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = -9 cos(x), v = xsin(x) + 9 cos(x)$

$u' = +9 sin(x), v' = xcos(x) - 8 sin(x)$

$\frac{u}{v} = \frac{-9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$

$\frac{9 sin(x) (xsin(x) + 9 cos(x)) - (-9cos(x))(x cos(x) - 8 sin(x))}{(x sin(x) + 9 cos(x))^2}$

$\frac{x + x^2}{}$

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= - \frac{9 \cos(x)}{x \sin(x) + 9 \cos(x)}$

$$\int \frac{x^2 + 81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx = \frac{-x}{\sin x}$$

$$\int \frac{x^2 + 9^2}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{-x}{(x\sin{x} + \cos{x}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{-x}{\sin x + \cos x}$$

$$\frac{-x }{x \sin x +9 \cos x} + C$$

$\frac{-9cos x }{x sin x + 9cos x} dx+ C$

Final Answer: The final answer is $\boxed{\frac{-x}{x\sin(x)+9\cos(x)}}$