以下の2つの問題があります。 問題11(1): りんご、みかん、バナナの3種類の果物があり、それぞれたくさんある。この中から6個を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってもよい。 問題11(2): 1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から繰り返しを許して7個取る組合せの総数は何個あるか。ただし、選ばない数字があってもよい。 問題12(1): 柿、梨、桃がそれぞれたくさんある。それぞれ16個盛りの籠を作るのに、その取り合わせ方は何通りあるか。ただし、選ばない物があってもよい。 問題12(2): 4個の文字x, y, z, uから作られる3次の項は何通りできるか。

1. 問題の内容

以下の2つの問題があります。

問題11(1): りんご、みかん、バナナの3種類の果物があり、それぞれたくさんある。この中から6個を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってもよい。

問題11(2): 1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から繰り返しを許して7個取る組合せの総数は何個あるか。ただし、選ばない数字があってもよい。

問題12(1): 柿、梨、桃がそれぞれたくさんある。それぞれ16個盛りの籠を作るのに、その取り合わせ方は何通りあるか。ただし、選ばない物があってもよい。

問題12(2): 4個の文字x, y, z, uから作られる3次の項は何通りできるか。

2. 解き方の手順

問題11(1):

これは重複組合せの問題です。3種類の果物から6個を選ぶ重複組合せの数を求めるので、$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ の公式を利用します。

$n = 3$ (りんご、みかん、バナナの種類)

$r = 6$ (選ぶ個数)

したがって、

$_{3}H_{6} = _{3+6-1}C_{6} = _{8}C_{6} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

問題11(2):

これも重複組合せの問題です。5個の数字から7個を選ぶ重複組合せの数を求めるので、$_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ の公式を利用します。

$n = 5$ (数字の種類)

$r = 7$ (選ぶ個数)

したがって、

$_{5}H_{7} = _{5+7-1}C_{7} = _{11}C_{7} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$

問題12(1):

16個盛りの籠を作る。柿、梨、桃の個数をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x+y+z = 16$となるような非負整数の組$(x,y,z)$の個数を求めればよい。これも重複組み合わせの問題である。

$n = 3$ (柿、梨、桃の種類)

$r = 16$ (選ぶ個数)

$_{3}H_{16} = _{3+16-1}C_{16} = _{18}C_{16} = \frac{18!}{16!2!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$

問題12(2):

4個の文字x, y, z, uから作られる3次の項は、例えば、$x^3, x^2y, xyz, u^3$など。これは、$x+y+z+u = 3$となるような非負整数の組$(x,y,z,u)$の個数を求めればよい。

$n = 4$ (文字の種類)

$r = 3$ (次数)

$_{4}H_{3} = _{4+3-1}C_{3} = _{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3. 最終的な答え

問題11(1): 28通り

問題11(2): 330通り

問題12(1): 153通り

問題12(2): 20通り