問題は、変量 $x$ のデータを $y = ax + b$ という規則で変換したときの、変数 $y$ の平均値と分散を求めるものです。 (1) $y$ の平均 $\bar{y}$ が $\bar{y} = a\bar{x} + b$ で表されることを証明します。 (2) $y$ の分散 $s_y^2$ を $x$ の分散 $s_x^2$ および $a$, $b$, $\bar{x}$ のうち必要なものを用いて表します。 (3) $s_y$を$a$, $b$, $\bar{x}$, $s_x$の中から必要なものを用いて表します。

1. 問題の内容

問題は、変量 $x$ のデータを $y = ax + b$ という規則で変換したときの、変数 $y$ の平均値と分散を求めるものです。

(1) $y$ の平均 $\bar{y}$ が $\bar{y} = a\bar{x} + b$ で表されることを証明します。

(2) $y$ の分散 $s_y^2$ を $x$ の分散 $s_x^2$ および $a$, $b$, $\bar{x}$ のうち必要なものを用いて表します。

(3) $s_y$を$a$, $b$, $\bar{x}$, $s_x$の中から必要なものを用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の平均 $\bar{y}$ を求める

$\bar{y}$ は $y_1, y_2, ..., y_n$ の平均なので、

$\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + ... + y_n}{n}$

$y_i = ax_i + b$ を代入すると、

$\bar{y} = \frac{(ax_1 + b) + (ax_2 + b) + ... + (ax_n + b)}{n}$

$\bar{y} = \frac{a(x_1 + x_2 + ... + x_n) + nb}{n}$

$\bar{y} = a\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} + \frac{nb}{n}$

$\bar{y} = a\bar{x} + b$

(2) $y$ の分散 $s_y^2$ を求める

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$

ここで、$y_i = ax_i + b$、$\bar{y} = a\bar{x} + b$ を代入すると、

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((ax_i + b) - (a\bar{x} + b))^2$

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i - a\bar{x})^2$

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i - \bar{x})^2$

$s_y^2 = a^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

$s_y^2 = a^2s_x^2$

(3) $s_y$を求める。

$s_y = \sqrt{s_y^2}$なので、

$s_y = \sqrt{a^2 s_x^2} = |a|s_x$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{y} = a\bar{x} + b$

(2) $s_y^2 = a^2s_x^2$

(3) $s_y = |a|s_x$