変量 $x$ のデータを $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ で変換するとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\overline{z}$ (変量 $z$ の平均) (2) $s_z$ (変量 $z$ の標準偏差)

1. 問題の内容

変量 $x$ のデータを $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ で変換するとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\overline{z}$ (変量 $z$ の平均)

(2) $s_z$ (変量 $z$ の標準偏差)

2. 解き方の手順

(1) $\overline{z}$ を求める。

$z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ の平均 $\overline{z}$ を計算します。

$\overline{z} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - \overline{x}}{s_x}$

$s_x$ は定数なので、

$\overline{z} = \frac{1}{s_x}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})$

$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ なので、$\sum_{i=1}^{n} \overline{x} = n\overline{x}$

$\overline{z} = \frac{1}{s_x}\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \overline{x})$

$\overline{z} = \frac{1}{s_x}\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - n\overline{x})$

$\overline{z} = \frac{1}{s_x}\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_i)$

$\overline{z} = \frac{1}{s_x}\frac{1}{n} (0)$

$\overline{z} = 0$

(2) $s_z$ を求める。

$z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ の標準偏差 $s_z$ を計算します。

$s_z^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (z_i - \overline{z})^2$

$\overline{z} = 0$ なので、

$s_z^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \overline{x}}{s_x})^2$

$s_z^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \overline{x})^2}{s_x^2}$

$s_z^2 = \frac{1}{s_x^2}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ なので、

$s_z^2 = \frac{1}{s_x^2} s_x^2$

$s_z^2 = 1$

$s_z = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{z} = 0$

(2) $s_z = 1$