変量 $x$ のデータを、規則 $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$ で変量 $z$ に変換するとき、以下のものを求めます。 (1) 変量 $z$ の平均 $\bar{z}$ (2) 変量 $z$ の標準偏差 $s_z$

確率論・統計学標準化平均標準偏差統計
2025/7/24

1. 問題の内容

変量 xx のデータを、規則 z=xxˉsxz = \frac{x - \bar{x}}{s_x} で変量 zz に変換するとき、以下のものを求めます。
(1) 変量 zz の平均 zˉ\bar{z}
(2) 変量 zz の標準偏差 szs_z

2. 解き方の手順

(1) 変量 zz の平均 zˉ\bar{z} を求める。
z=xxˉsxz = \frac{x - \bar{x}}{s_x} なので、zz の平均は以下のようになります。
zˉ=1ni=1nzi=1ni=1nxixˉsx\bar{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - \bar{x}}{s_x}
zˉ=1nsxi=1n(xixˉ)\bar{z} = \frac{1}{n s_x} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})
zˉ=1nsx(i=1nxii=1nxˉ)\bar{z} = \frac{1}{n s_x} (\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x})
zˉ=1nsx(i=1nxinxˉ)\bar{z} = \frac{1}{n s_x} (\sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x})
zˉ=1nsx(nxˉnxˉ)=0\bar{z} = \frac{1}{n s_x} (n\bar{x} - n\bar{x}) = 0
したがって、zˉ=0\bar{z} = 0
(2) 変量 zz の標準偏差 szs_z を求める。
sz2=1ni=1n(zizˉ)2s_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (z_i - \bar{z})^2
zˉ=0\bar{z} = 0 より、
sz2=1ni=1nzi2s_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i^2
sz2=1ni=1n(xixˉsx)2s_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_x})^2
sz2=1nsx2i=1n(xixˉ)2s_z^2 = \frac{1}{n s_x^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
sz2=1sx2[1ni=1n(xixˉ)2]s_z^2 = \frac{1}{s_x^2} [\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2]
ここで、1ni=1n(xixˉ)2=sx2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = s_x^2 なので、
sz2=1sx2sx2=1s_z^2 = \frac{1}{s_x^2} s_x^2 = 1
したがって、sz=1=1s_z = \sqrt{1} = 1

3. 最終的な答え

(1) zˉ=0\bar{z} = 0
(2) sz=1s_z = 1

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