行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の定める一次変換を $f$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 点 $(1,1)$ の $f$ による像を求めよ。 (2) 直線 $x-y=0$ の $f$ による像を求めよ。 (3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の定める一次変換を $f$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $(1,1)$ の $f$ による像を求めよ。

(2) 直線 $x-y=0$ の $f$ による像を求めよ。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(1,1)$ の像を求める。

行列 $A$ とベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の積を計算する。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-9 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $x-y=0$ の像を求める。

$x-y=0$ より $y=x$ である。この直線上の点は $\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$ と表せる。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6t-9t \\ 2t-3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3t \\ -t \end{pmatrix}$

この点を $(x', y')$ とすると、$x' = -3t$, $y' = -t$ である。

$t = -y'$ なので、$x' = -3(-y') = 3y'$ となり、$x' = 3y'$ すなわち $x-3y=0$ である。

(3) 零ベクトルの逆像を求める。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$6x - 9y = 0$

$2x - 3y = 0$

どちらの式も $2x - 3y = 0$ と同値なので、$2x = 3y$ すなわち $x = \frac{3}{2}y$ である。

$y = 2t$ とすると $x = 3t$ となるので、$\begin{pmatrix} 3t \\ 2t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ である。

これは、直線 $2x-3y=0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(-3, -1)$

(2) $x-3y = 0$

(3) $2x - 3y = 0$