与えられた7つの関数について、増減表を作成する問題です。各関数とその導関数 $y'$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた7つの関数について、増減表を作成する問題です。各関数とその導関数 $y'$ が与えられています。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減表を作成します。

1. 導関数 $y'$ が $0$ になる $x$ の値を求めます。これは、$y' = 0$ を解くことで得られます。与えられた導関数はすでに因数分解されているので、各因数が0になる $x$ の値を求めれば良いです。

2. $x$ の値を小さい順に並べます。

3. 増減表の1行目に $x$ の値を書き込みます。その際、$x = -\infty$ と $x = \infty$ も含めます。

4. 増減表の2行目に $y'$ の符号を書き込みます。$y'$ の符号は、$y' = 0$ となる $x$ の値で変化します。それぞれの区間で $y'$ が正か負かを調べるには、区間内の任意の $x$ の値を $y'$ に代入して計算します。$y'>0$ ならば増加、$y'<0$ ならば減少、$y'=0$ ならば極値です。

5. 増減表の3行目に $y$ の増減を矢印で書き込みます。増加の場合は上向きの矢印 ($\nearrow$)、減少の場合は下向きの矢印 ($\searrow$)、極値の場合は水平な線（-）を書き込みます。

6. $y' = 0$ となる $x$ の値を元の関数 $y$ に代入して、極値を求め、増減表に書き込みます。

各関数の増減表は以下のようになります。

**(1) $y = x^3 + 3x^2 - 24x + 1$, $y' = 3(x - 2)(x + 4)$**

$y' = 0$ となるのは $x = -4, 2$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | -4 | | 2 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | + | 0 | - | 0 | + | |

| $y$ | $\nearrow$ | 極大値 81 | $\searrow$ | 極小値 -27 | $\nearrow$ | |

**(2) $y = -x^3 + 12x^2 - 45x + 2$, $y' = -3(x - 3)(x - 5)$**

$y' = 0$ となるのは $x = 3, 5$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | 3 | | 5 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | - | 0 | + | 0 | - | |

| $y$ | $\searrow$ | 極小値 -52 | $\nearrow$ | 極大値 -48 | $\searrow$ | |

**(3) $y = -x^3 - 12x^2 - 36x - 1$, $y' = -3(x + 2)(x + 6)$**

$y' = 0$ となるのは $x = -6, -2$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | -6 | | -2 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | - | 0 | + | 0 | - | |

| $y$ | $\searrow$ | 極小値 -1 | $\nearrow$ | 極大値 15 | $\searrow$ | |

**(4) $y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 2$, $y' = -3(x + 3)(x - 1)$**

$y' = 0$ となるのは $x = -3, 1$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | -3 | | 1 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | - | 0 | + | 0 | - | |

| $y$ | $\searrow$ | 極小値 -29 | $\nearrow$ | 極大値 3 | $\searrow$ | |

**(5) $y = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1$, $y' = 6(x - 4)(x - 2)$**

$y' = 0$ となるのは $x = 2, 4$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | 2 | | 4 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | + | 0 | - | 0 | + | |

| $y$ | $\nearrow$ | 極大値 49 | $\searrow$ | 極小値 33 | $\nearrow$ | |

**(6) $y = x^3 - 12x^2 - 27x + 2$, $y' = 3(x + 1)(x - 9)$**

$y' = 0$ となるのは $x = -1, 9$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | -1 | | 9 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | + | 0 | - | 0 | + | |

| $y$ | $\nearrow$ | 極大値 16 | $\searrow$ | 極小値 -538 | $\nearrow$ | |

**(7) $y = x^3 - 6x^2 - 63x + 1$, $y' = 3(x - 7)(x + 3)$**

$y' = 0$ となるのは $x = -3, 7$ のとき。

| $x$ | $-\infty$ | -3 | | 7 | | $\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | + | 0 | - | 0 | + | |

| $y$ | $\nearrow$ | 極大値 163 | $\searrow$ | 極小値 -440 | $\nearrow$ | |

3. 最終的な答え

上記の表に、各関数の増減表を示しました。最終的な答えは、問題文で求められている増減表そのものです。