与えられた積分を計算します。 $$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2}dx$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2}dx$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

被積分関数は、$x^2+72$ と $(x \sin x + 9 \cos x)^2$ から構成されています。

ここで、$f(x) = x \sin x + 9 \cos x$ とおくと、$f'(x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$ となります。

また、$d/dx (\frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x}) = \frac{\cos x (x \sin x + 9 \cos x) - \sin x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x \sin x \cos x + 9 \cos^2 x - x \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$ です。

同様に、$d/dx (\frac{x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}) = \frac{(\cos x - x \sin x)(x \sin x + 9 \cos x) - x \cos x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x \cos x \sin x + 9 \cos^2 x - x^2 \sin^2 x - 9 x \sin x \cos x - x^2 \cos^2 x + 8 x \cos x \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x - x^2 \sin^2 x - x^2 \cos^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x - x^2}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$ となります。

ここで、求める積分は、$x^2+72$ を分子に持つので、

$$\int \frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x + 72 - (9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx$$

$$\int \frac{-9 \cos^2 x + x^2 + 9 \cos^2 x + 9 -8 + 64 +8 + x^2- 9 \cos^2 x - (-9 \cos^2 x + x^2 - x^2 + x^2)} dx = \int \frac{9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx + \frac{72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx$$

分母を$(x\sin x + 9\cos x)^2$として、分子に$x^2 + 72$があることから、

$$\frac{d}{dx} (\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}) = \frac{(-x \sin x - \cos x + 9 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-x \cos x + 9 \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{-x^2 \sin^2 x - 9x \sin x \cos x - x \cos x \sin x - 9 \cos^2 x + 9x \cos x \sin x + 81 \cos^2 x - ( -x^2 \cos^2 x + 8x \sin x \cos x + 9x \sin x \cos x - 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}= \frac{-x^2 \sin^2 x - 10x \sin x \cos x + 72 \cos^2 x - (-x^2 \cos^2 x + 17 x \sin x \cos x - 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{-x^2 \sin^2 x - 27x \sin x \cos x + 72 \cos^2 x +x^2 \cos^2 x+ 72 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{72( \sin^2 x + \cos^2 x)- x^2 \sin^2 x + cos^2 x +72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

$\frac{72+x^2}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$$\frac{d}{dx}\frac{-x\cos x +9\sin x}{x\sin x + 9\cos x} = \frac{x^2+72}{(x\sin x +9\cos x)^2}$$

3. 最終的な答え

$$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2}dx = \frac{-x\cos x +9\sin x}{x\sin x + 9\cos x} + C$$

答え: $\frac{-x\cos x + 9\sin x}{x\sin x + 9\cos x} + C$