図2のように、起電力 $E = 1.5 \text{V}$、内部抵抗 $r = 0.1 \Omega$ の電池Bを3個接続した回路について、以下の2つの問いに答えます。 (1) a-b間の電圧 $V_{ab}$ を求めます。 (2) a-b間に $6.6 \Omega$ の抵抗を接続したとき、その抵抗を流れる電流を求めます。

1. 問題の内容

図2のように、起電力 $E = 1.5 \text{V}$、内部抵抗 $r = 0.1 \Omega$ の電池Bを3個接続した回路について、以下の2つの問いに答えます。

(1) a-b間の電圧 $V_{ab}$ を求めます。

(2) a-b間に $6.6 \Omega$ の抵抗を接続したとき、その抵抗を流れる電流を求めます。

2. 解き方の手順

(1) a-b間の電圧 $V_{ab}$ の計算

3個の電池が直列につながっているため、全体の起電力は $1.5 \times 3 = 4.5 \text{V}$ となります。

全体の内部抵抗は $0.1 \times 3 = 0.3 \Omega$ です。

したがって、回路全体の電流 $I$ は $I = \frac{4.5}{0.3} = 15 \text{A}$ となります。

$V_{ab}$ は3個の電池のうちの2個分の起電力 $1.5 \times 2 = 3 \text{V}$ から、2個分の内部抵抗による電圧降下 $I \times (0.1 \times 2) = 15 \times 0.2 = 3 \text{V}$ を引いた値です。

したがって、$V_{ab} = 3 - (15 \times \frac{2}{3} \times 0.1) = 3 - 3 \times \frac{2}{3}= 2 \text{V}$

(2) a-b間に $6.6 \Omega$ の抵抗を接続したときに流れる電流の計算

この問題は、重ね合わせの理を利用して解きます。a-b間の回路を2つの電源を含む回路として考え、各電源による電流を計算し、それらを足し合わせることで、全体の電流を求めます。

2つの電源の起電力はそれぞれ $E_1 = 1.5 \text{V}$ と $E_2 = 1.5 \times 2=3 \text{V}$ です。

それぞれの内部抵抗は $r_1 = 0.1 \Omega$ と $r_2=0.1 \times 2 =0.2 \Omega$ です。

a-b間に接続した抵抗は $R = 6.6 \Omega$ です。

この抵抗を流れる電流を $I_3$ とすると、 $I_3$ は以下の式で計算できます。

$I_3 = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 r_2 + R(r_1 + r_2)} = \frac{1.5 \times 0.2 + 3 \times 0.1}{0.1 \times 0.2 + 6.6(0.1 + 0.2)} = \frac{0.3 + 0.3}{0.02 + 6.6 \times 0.3} = \frac{0.6}{0.02 + 1.98} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \text{A}$

3. 最終的な答え

(1) a-b間の電圧 $V_{ab}$: $2 \text{V}$

(2) a-b間の $6.6 \Omega$ の抵抗を流れる電流: $0.3 \text{A}$