各図形の辺は抵抗 $r$ の導線でできており、端子A-B間の合成抵抗 $R$ を求める問題です。 (1) 正方形4つ (2) 六角形 (3) 正四面体 (4) 立方体 の4つの図形についてそれぞれ合成抵抗を求めます。

1. 問題の内容

各図形の辺は抵抗 $r$ の導線でできており、端子A-B間の合成抵抗 $R$ を求める問題です。

(1) 正方形4つ

(2) 六角形

(3) 正四面体

(4) 立方体

の4つの図形についてそれぞれ合成抵抗を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正方形4つの場合

まず、AからBへの経路を考えます。上側の並列抵抗は $r \cdot r / (r+r) = r/2$ です。同様に、下側の並列抵抗も $r/2$ です。

これらの抵抗は、中央の2つの抵抗 $r+r=2r$と直列に接続されています。

つまり、$r/2 + 2r = 5r/2$です。

この抵抗と、$r/2$が並列になっているため、

$\frac{\frac{5r}{2} \cdot \frac{r}{2}}{\frac{5r}{2} + \frac{r}{2}} = \frac{\frac{5r^2}{4}}{\frac{6r}{2}} = \frac{5r}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5r}{12}$

さらに、この抵抗と残り $r/2+r/2=r$が並列になっているため、$\frac{3r}{4}$となります。最後に、$\frac{3r}{4} + \frac{3r}{4} = \frac{3r}{2}$.

(2) 六角形の場合

AからBへの経路を考えます。上側の抵抗は $r/2$です。下側の抵抗は$r+r+r/2 = 5r/2$.

$R=\frac{r/2 * 5r/2}{r/2+5r/2}=\frac{5r/4}{3}=\frac{5r}{12}$.

並列抵抗は $r/3$. そして、 $r + r/3 = 4r/3$.

さらに $4r/3$と$r/3$の並列抵抗$\frac{4r/3*r/3}{4r/3+r/3} = \frac{4r^2/9}{5r/3} = 4r/3*3/5 = \frac{4r}{15}*2=\frac{8r}{15}$.

最後に$\frac{2r}{5} + \frac{2r}{5} = \frac{4r}{5}$.

(3) 正四面体の場合

AからBへの経路を考えます。まず、$r+r=2r$.

2つの$2r$が並列なので、$\frac{2r\cdot2r}{2r+2r}=\frac{4r^2}{4r}=r$.

残りは$r/2$.

(4) 立方体の場合

AからBへの経路を考えます。中央の並列抵抗は $r/2$.

$r + r/4+r + r = 5/6r$.

3. 最終的な答え

(1) 正方形4つ：$R = \frac{3}{2}r$

(2) 六角形：$R = \frac{4}{5}r$

(3) 正四面体：$R = \frac{1}{2}r$

(4) 立方体：$R = \frac{5}{6}r$